椭圆焦点三角形面积公式推导及应用.pdf

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1、2017年1月1日理科考试研究·数学版·25·椭圆焦点三角形面积公式推导及应用内蒙古赤峰市宁城高级中学024200郭晓辉摘要:椭圆上任意一点与两个焦点所组成的三角形叫焦点三角形．在椭圆中，焦点三角形是一个引人注目的三角形，它的面积是一个非常重要的几何量．在解决有关焦点三角形问题中，如果能灵活地应用焦点三角形的面积公式，往往可以使复杂问题简单化，减少运算量，使问题迎刃而解．关键词:三角形面积公式;椭圆焦点;性质;几何量;教学研究在高中数学解析几何椭圆部分题中经常会出现P2tan椭圆上一点与两焦点构成的三角形问题，那么如何快另一方面，ta

2、nP=22P速的找准切入点解决这类问题呢?下面介绍一种利1－tan2用椭圆焦点三角形面积公式解决这类问题的方法．P一、公式推导2tan23x2y2从而tanP==，已知椭圆2+2=1(a＞b＞0)中，F1，F2为椭圆1－tan2P4ab2的左右焦点，焦距为2c，P为椭圆上任意一点，P1P∠FPF=θ则有解得tan=或tan=－3(舍去)由刚12232证明设PF1=m，PF2=n则有m+n=2a，在P222cos椭圆中有b=a－c，222222222得到的结论可得b=S△MPNP=3作PQ⊥MN，∴4b=4a－(2c)，4b=(m+n)

3、－(2c)=msin222+n+2mn－(2c)4b2m2+n2－(2c)2+2mnh∴==cosθ+1，垂足为Q，设

4、PQ

5、=h，

6、NQ

7、=m，由tanM==2mn2mn2c+m24b2θ22θ1h4c1=2cos，b=mncos=tan∠PNQ==2，易得h=，又S△PMN=·2c2mn222m3214c23215∵S△F1PF2=mnsinθ，·=1，得c=，所以a=，故所求的椭圆的方23441222θ2θ4xymncossinθmnsinθcos程为+=12222153b==，sinθθθ22sincosxy22例2(2004

8、湖北)已知椭圆+=1的左、右1692θ∴S△F1PF2=btan焦点分别是F1、F2，点P在椭圆上．若P、F1、F2是一2个直角三角形的三个顶点，则点P到x轴的距离为二、公式应用()例1(1993全国高考题)在面积为1的△PMN1A．9B．9槡7C．9D．99槡7中，tanM=，tanN=－2，建立适当的坐标系，求出以或257447M，N为焦点且过点P的椭圆方程．分析求b到x轴的距离，底为2c可知底不变，分析此题为典型的椭圆焦点三角形面积问题，所以利用椭圆焦点三角形面积公式较易解决．只需找到对应的相等关系即可解决．解若F1或F2是直角

9、顶点，则点P到x轴的距2解以MN所在直线为x轴，线段MN的中垂线b9离为半通径的长=;若P是直角顶点，设点P到x为y轴建立直角坐标系a4tanM+tanN32θ一方面，tanP=－tan(M+N)+=轴的距离为h，则S△F1PF2=btan=9tan45°=9，又1－tanMtanN42作者简介:郭晓辉(1981－)，男，内蒙古赤峰市宁城县，本科，中学一级教师·26·理科考试研究·数学版2017年1月1日S=1·(2c)·h=槡7h，∴槡7h=9，h=9槡7槡3△F1PF2故答A．3槡3B．2槡3C．槡3D．273案选D．分析此题符合

10、椭圆焦点三角形问题，所以首选2x2椭圆焦点三角形面积公式．例3已知椭圆2+y=1(a＞1)的两个焦点为a→→PF1·PF2F1、F2，P为椭圆上一点，且∠F1PF2=60°，则

11、PF1

12、·解设∠F1PF2=θ，则cosθ=→→=

13、PF1

14、·

15、PF2

16、

17、PF2

18、的值为()1142，∴θ=60°A．1B．C．D．23332θ分析此题符合椭圆焦点三角形问题，所以首选∴S△F1PF2=btan=9tan30°=3槡3故选答案A．2椭圆焦点三角形面积公式．点评利用椭圆焦点三角形面积公式解题，既是2θ解∠F1PF2=θ=60°，b

19、=1，S△F1PF2=btan=对椭圆的知识及方法的综合考查，又考查了学生的能2力及学生解决问题的方法的灵活性．有些题目看似与tan30°=槡3，椭圆的焦点三角形面积无关，但又是焦点三角形问3题，只要对症用公式即可解决．1槡3又∵S△F1PF2=

20、PF1

21、·

22、PF2

23、sinθ=

24、PF1

25、·通过以上例题的解决我们发现在利用椭圆焦点24三角形的面积公式时，不一定是求面积问题而是呈现

26、PF2

27、，题型的变化多样性，但只要我们抓住它们是椭圆焦点∴槡3

28、PF1

29、·

30、PF2

31、=槡3，从而

32、PF1

33、·

34、PF2

35、=三角形这一关键点切入问题即可迎刃而解．

36、借用张景43中院士《绕来绕去的向量法》一书的书名我们可以称4．故答案选C．之为绕来绕去的焦点三角形．322参考文献:xy例4已知P是椭圆+=1上的点，F1、F2分［1］周贞雄．高中数学学考必备用书［M］．湖南:湖南大学2