实变函数论课件2 基数(势)的定义.pdf

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1、2016-9-16现实生活中，当我们谈到一组对象时，目的：掌握势的定义，熟悉势的性质，很自然的会涉及到这一组对象的个数。集了解势的比较。合论也是这样.重点与难点：势的定义及比较。假如我们不考虑某个集合中元素的具体特性时，该集合含多少个元素则是一个最基本的概念，比如10个人组成的集合与十块砖头组成的集合，虽然特征不同，但作为集合，它们含相同个数一．势的定义的元素，十块砖头与九块砖头虽然有相同问题1：回忆有限集是如何计数的？的属性，但其元素个数不同，而是两个不问题2：有限集的计数方法如何移植到无限同的集合。由此可见，集合所含元素的个集情形？数也是集合的一个重要的特征。设想有一堆

2、石子，我们要知道它有多少个，可记作{e1,e2...,en}。这个过程实际上建立当我们拿起第一粒石子时，了石子与自然数1到n之间的一个一一对心里默数着1，拿起第二粒石子时，心里应关系。如果我们想知道两堆石子是否有默数着2，拿起最后一粒石子时，我们心相同个数，我们其实不必将这两堆石子的里默数的最后一个数字就是石子的个数。个数一一数出来，而只需每次各从两堆石在这个过程中，我们不知不觉间将每粒石子中拿一粒，只要最后各剩下一粒石子，子都编了号，第一粒石子就是一号，不妨则它们的个数就是一样的，否则就不同。记作e，第二粒石子就是二号，不妨记这说明，我们想知道两个集合是否有相同1作e2,

3、...，如果有n个石子，则最后一粒石子就是第n号，记作e，于是这堆石子n12016-9-16个数，我们其实不必将这两堆石子的个数一一数出来，而只需每次各从两堆石子中映射拿一粒，只要最后各剩下一粒石子，则它们的个数就是一样的，否则就不同。这说定义1设A,B是两个集合，A非空集.若依照规则f,明，我们想知道两个集合是否有相同数量对于A中的每个元x，在B中都有唯一确定的元的元素，只需看能否在这两个集合之间建y与之对应,就称f是A到B的映射,f立一种一一对应关系，只要能建立这种关记作f:AB或AB,系，我们就有理由认为，它们有相同的数量，这种方法对无穷集也适用。8定义2若映

4、射f:AB的值域f(A)恰等于B,就说而与x对应的元y称为（x在映射f下）的象,f是满射的.记作f(x).i.e.,yB,存在xA,使得f(x)y.集合A称为映射f的定义域,f若映射AB使每个yf(A)仅有唯一的xA集合f(x)

5、xA称为映射f的值域.满足f(x)y,就说f是单射的.集合f(x)

6、xE称为E在映射f下）的象集,i.e.,x,yA,若f(x)f(y),则xy.记作f(E).若映射f:AB既是满射的又是单射的,就称f是A到B的一一映射,“(一一映射”有时还说成“一一对应”),f记作f:AB或AB.111

7、1910设f是A到B的一一映射,则对每个yB有唯一xA使f(x)y,定义g(y)x(当f(x)y时）,则g是B到A的一一映射,我们称g是f的逆映射,A~B1记作f.~注：称与A对等的集合为与A有相同的势（基数），记作A势是对有限集元素个数概念的推广.1122016-9-16命题2设A,A,,A,是两两无交的一列集,12n命题1对等关系有如下性质：B1,B2,,Bn,是两两无交的一列集.（i）A~A；（反身性）若An~Bn(n1,2,),则（ii）若A~B,则B~A；（对称性）mmAABB;A~B(m1,2,).;1212nn（iii

8、）若A~B,B~C,则A~C.（传递性）n1n1A~B,nnn1n1证明A~B,故存在一一映射f:AB.nnnnn作映射f:对每个xA,令f(x)f(x),nnn1,2,.1314例2设N1,2,,n,,Ne2,4,,2n,,则N~Ne.例1N~Z证明定义f(n)2n(nN),显然f是N到Ne的一一映射.2nnn1,2,作对应关系:例1、2揭示出了一个极其重要的事实，就是无限集是2n1nn0,1,2,有可能与它的真子集对等的，我们还将证则是N与Z之间的一一对应。明任何一个无限集必然与它的一个真子集对

9、等，这对于有限集来说，显然是永远办不到的。结论：N~N~N~Z奇数偶数例3(0，1)~[0，1].例(0，1)~(a，b).11111证明设A,2,3,4,n,,证明定义f(x)a(ba)x.1010101010B0,1,1,1,,1,.作A到B的例(0，1)~R.2n210101011证明定义f(x)tan(x).映射f,使f()0,f()1,22101011f(),n3,4,5,.nn21010结论：(0,1)~[0,1]~(,)~(a,b