线性变换典型例题.pdf

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1、西安交通大学线性代数与解析几何典型例题第8章线性变换典型例题（A）2éxùp2éùx例1设T1是R上将向量êú逆时针旋转的变换，T2是R上将向量êúêëyúû3êúëûyp逆时针旋转的变换.求T(a),T(a)和TT(a).12212分析：求变换公式关键是将几何旋转变换用代数运算表示.éùx解：设êú对应的径向量长度为r，yP1(x,y)êúyëûéxùérjcosùp幅角为j.则êúê=ú.将向P(x,y)êëyúêûërjsinúû3jx0péxù量a逆时针旋转至径向量êú，则其3êëyúûp幅角为j+.

2、则3éæöpùéæöppùêrjcosç÷ç÷ç÷+úêrjç÷ç÷ç÷coscos-sinjsinúéùéùxxêèø3úêèø33úTêúêú==êú=êú1êúêúyyêæöpúêæöppúëûëûêêrjsinç÷ç÷ç÷+úúêêrjç÷ç÷ç÷sincos+cossinjúúëèø3ûëèø33ûéùpp西安交通大学éùppé13ùêúxycos-sinêúcos-sinê-úêú33êú33éxùê22úéxù=êú=êúêú=êúêúêúpp数学与统计学院êúppêëyúûêê31úúêëyú

3、ûêúxysin+cosêúsincosêúëû33êúëû33êë22úû同理éùppêúcos-sinéùxêú22éùxé0-1ùéùxTêú=êúêú=êúêú.2êúyêúppêúyê10úêúyëûêúsincosëûëûëûêúëû22则，83西安交通大学线性代数与解析几何典型例题13é31ùê--úéùxéùxéù0-1éxùé01-ù22xê22úéùxTTêú=Têú=êúêú=êú=êúêú.21êúy2êúyêú10êyúê10úyêúêúyëûëûëûë

4、ûëû31ê13úëûê-ú22ë22û例2设TTLVW,,,定义映射(TTVW+):,(TTVW-):,121212(kT):VW为：1"ÎaV,(TT+=+)(aaa)T()T();1212(TT12-=-)()aaaT1()T2();()()lT11aa=lT();证明：()TT12+,()TT12-,(lT1)为线性变换.证明：()TT12++()()()ab=+T1ab++T2ab=+++()TTTT11()abab()()22()()=+++()TTTT12()aabb()()

5、12()()=+()TT12(ab)++()TT12().(TTkTkTk12+=+)()()()aaa12=+kT12()aakT()=+kT()12()aaT()=+kTT()12西安交通大学(a).所以，()TT12+为线性变换.数学与统计学院()TT12-+()()()ab=+T1ab-+T2ab=+-+()TTTT11()abab()()22()()=-+-()TTTT12()aabb()()12()()=-()TT12(ab)+-()TT12().(TTk12-=-)()()()aaaTkTk12

6、=-kT12()aakT()=-kT()12()aaT()=-kTT()12(a).所以，()TT12-为线性变换.84西安交通大学线性代数与解析几何典型例题(lT11)()()ab+=lTab+=+lT()11()abT()=+lT11()ablT()=+()lT11()()ablT().()lT11()kaa=lTk()=lkT1(a)=klT1()a=klT()1()a.所以，()lT1为线性变换.éxùéxùéxùêú1ê11úêéùéùúy11100êúxêxúêêúêúxú例3设TLRRÎ(43,

7、,)对于"=xêú2ÎR4,Tyê22úê==êúêú0110ú.1êúx12êxúêêúêúxúêú3ê33úêêúyêú0011úêúêúêëû3ëûúêëx4úûêëx44úêûëxúû问：T1是否为单射？是否为满射？éxxùéùêú11éùêúé1100ù1100êúêúxxêúêú解：因rankêú0110=<34,所以Têú22==êú0110êú0有非零解.即êú1êúxxêúêúêú0011êú33êú0011êúëûêúëûêúêëxx44úêûëúûker(){}T1¹0，因此，T1不是单

8、射.éùy1é110y1ùé110ùêúêúêú又因为，对于任意向量êúyRÎ3,rankêú011y==rankê011ú3.êú2êú2êúêúyêú101yê101úëû3ë3ûëûéùxéxùéùêú1éùêú11100y1êúêúxêúêúx即非齐次方程êú0110êú2=êyú有解，即存在向量êú2ÎR4,使得西安交通大学êúêúxê2úêúxêú0011êú3êyúêú3ëûêúë3û