导数典型例题讲解.pdf

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1、⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯最新资料推荐⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯资料一：导数.知识点1．导数的概念3例1．已知曲线y=x上的一点P(0,0)，求过点P的切线方程·解析：如图，按切线的定义，当x0时，割线PQ的极限位置是y轴（此时斜率不存在），因此过P点的切线方程是x=0.2例2．求曲线y＝x在点(2，4)处的切线方程·22222解析：∵y=x,∴y=(x0＋x)－x0＝2x0x＋(x)=4x＋(x)y∴k＝limlim(4x)4.x0x0x2∴曲线y＝x在点(2，4)处切线方程为y－4＝4(x－2)即4x－y－4＝0.2例3．物体的运动方程是S＝1

2、＋t＋t，其中S的单位是米，t的单位是秒，求物体在t＝5秒时的瞬时速度及物体在一段时间[5，5＋t]内相应的平均速度．2222解析：∵S=1+t+t,∴S=1+(t+t)+(t+t)－(1+t+t)=2t·t+t+(t),S∴2t1t,即v(t)2t1t,∴v(5)t11,t即在[5，5＋t]的一段时间内平均速度为(t＋11)米／秒S∴v(t)=S’＝limlim(2t1t)2t1t0tt0即v(5)＝2×5＋1＝11.∴物体在t＝5秒时的瞬时速度是11米／秒．1例4．利用导数的定义求函数y=在x=1处的导数。x111xy1解析：y=1,∴=,1x1xx1x(11x)y11∴li

3、m=lim.x0xx01(11)2xx21xsinx0例5．已知函数f(x)=x,求函数f(x)在点x＝0处的导数0x021解析：由已知f(x)=0，即f(x)在x=0处有定义，y=f(0+x)－f(0)=(x)sin,xy1y1=xsin,lim=limxsin=0,即f’(0)＝0.xxx0xx0x∴函数f(x)在x＝0处导数为0.1⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯最新资料推荐⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯12(x1)x≤12例6．已知函数f(x)=,判断f(x)在x＝1处是否可导？1(x1)x1212[(1x)1]1y21解析：f(1)=1,limli

4、mlim(1x)1,x0xx0xx021(1x1)1y21yylimlim,∵limlim,x0xx0x2x0xx0x∴函数y=f(x)在x＝1处不可导．3例7．已知函数y＝2x＋3，求y’.333223解析：∵y=2x+3,∴y=2(x+x)+3－(2x+3)=6x·x+6x·(x)+2(x),y22y2∴=6x+6x·x+2(x),∴y’=lim=6x.xx0x3例8．已知曲线y＝2x＋3上一点P，P点横坐标为x＝1，求点P处的切线方程和法线方程．解析：∵x=1,∴y=5,P点的坐标为(1,5),2利用例7的结论知函数的导数为y’=6x,∴y’

5、x1＝6,∴曲线在P点处的切线

6、方程为y－5＝6(x－1)1即6x－y－1＝0,又曲线在P点处法线的斜率为－，61∴曲线在P点处法线方程为y－5＝－(x－1)，即6y＋x－31＝0.62例9．抛物线y＝x在哪一点处切线平行于直线y＝4x－5？22y(xx)x解析：∵y’=lim=lim2x,x0xx0x令2x＝4．∴x=2,y＝4,即在点P(2，4)处切线平行于直线y＝4x－5.例10．设mt≠0，f(x)在x0处可导，求下列极限值xf(x0)f(x0)f(x0mx)f(x0)t(1)lim；(2)lim.x0xx0x解析：要将所求极限值转化为导数f’(x0)定义中的极限形式。f(x0mx)f(x0)f(x0m

7、x)f(x0)(1)lim=lim(m)mf'(x0),x0xx0mx（其中－m·x0）xxf(x0)f(x0)f(x0)f(x0)tt11(2)lim=limf'(x0).x0xx0xttt2⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯最新资料推荐⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1（其中x0）tf(x)例11．设函数f(x)在x＝1处连续，且lim2，求f’(1).x1x1解析：∵f(x)在x＝1处连续，∴limf(x)f(1).x1f(x)f(x)而又limf(x)lim(x1)lim(x1)lim0×2=0.x1x1x1x1x1x1∴f(1)=0.f(1x)f(1)

8、f(x)f(1)∴f’(1)=limlim2（将x换成x－1）x0xx1x1即f’(1)＝2.2例12．已知抛物线y＝ax+bx+c(a≠0)，通过点(1，1)，且在点(2，－1)处与直线y＝x－3相切，求a，b，c的值．22ya(xx)b(xx)c(axbxc)解析：由y’＝lim=lim2axb,x0x0xx由函数在点(2，－1)处与直线y＝x－3相切,∴2a×2＋b＝1，又函数过点(1，1)，(2，－1),∴a＋b＋c=1，4a＋2b＋c＝－1，由三式解得a＝3，b＝－11