导数典型例题讲解

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资料一：导数.知识点1．导数的概念例1．已知曲线y=上的一点P(0,0)，求过点P的切线方程·解析：如图，按切线的定义，当x0时，割线PQ的极限位置是y轴（此时斜率不存在），因此过P点的切线方程是x=0.例2．求曲线y＝x2在点(2，4)处的切线方程·解析：∵y=x2,∴y=(x0＋x)2－x02＝2x0x＋(x)2=4x＋(x)2∴k＝.∴曲线y＝x2在点(2，4)处切线方程为y－4＝4(x－2)即4x－y－4＝0.例3．物体的运动方程是S＝1＋t＋t2，其中S的单位是米，t的单位是秒，求物体在t＝5秒时的瞬时速度及物体在一段时间[5，5＋t]内相应的平均速度．解析：∵S=1+t+t2,∴S=1+(t+t)+(t+t)2－(1+t+t2)=2t·t+t+(t)2,∴,即,∴,即在[5，5＋t]的一段时间内平均速度为(t＋11)米／秒∴v(t)=S’＝即v(5)＝2×5＋1＝11.∴物体在t＝5秒时的瞬时速度是11米／秒．例4．利用导数的定义求函数y=在x=1处的导数。解析：y=,∴=,∴=.例5．已知函数f(x)=,求函数f(x)在点x＝0处的导数解析：由已知f(x)=0，即f(x)在x=0处有定义，y=f(0+x)－f(0)=, =,==0,即f’(0)＝0.∴函数f(x)在x＝0处导数为0.例6．已知函数f(x)=,判断f(x)在x＝1处是否可导？解析：f(1)=1,,,∵,∴函数y=f(x)在x＝1处不可导．例7．已知函数y＝2x3＋3，求y’.解析：∵y=2x3+3,∴y=2(x+x)3+3－(2x3+3)=6x2·x+6x·(x)2+2(x)3,∴=6x2+6x·x+2(x)2,∴y’==6x2.例8．已知曲线y＝2x3＋3上一点P，P点横坐标为x＝1，求点P处的切线方程和法线方程．解析：∵x=1,∴y=5,P点的坐标为(1,5),利用例7的结论知函数的导数为y’=6x2,∴y’＝6,∴曲线在P点处的切线方程为y－5＝6(x－1)即6x－y－1＝0,又曲线在P点处法线的斜率为－，∴曲线在P点处法线方程为y－5＝－(x－1)，即6y＋x－31＝0.例9．抛物线y＝x2在哪一点处切线平行于直线y＝4x－5？解析：∵y’==,令2x＝4．∴x=2,y＝4,即在点P(2，4)处切线平行于直线y＝4x－5.例10．设mt≠0，f(x)在x0处可导，求下列极限值(1)；(2).解析：要将所求极限值转化为导数f’(x0)定义中的极限形式。(1)=,（其中－m·x0） (2)=.（其中）例11．设函数f(x)在x＝1处连续，且，求f’(1).解析：∵f(x)在x＝1处连续，∴f(1).而又×2=0.∴f(1)=0.∴f’(1)=（将x换成x－1）即f’(1)＝2.例12．已知抛物线y＝ax2+bx+c(a≠0)，通过点(1，1)，且在点(2，－1)处与直线y＝x－3相切，求a，b，c的值．解析：由y’＝=,由函数在点(2，－1)处与直线y＝x－3相切,∴2a×2＋b＝1，又函数过点(1，1)，(2，－1),∴a＋b＋c=1，4a＋2b＋c＝－1，由三式解得a＝3，b＝－11，c=9.例13．设曲线y＝sinx在点A(，)处切线倾斜角为θ，求tan(－θ)的值.解析：∵y=sinx，∴y=sin(x+x)－sinx=2cos(x+)sin,∴y’==.即y’＝(sinx)’＝cosx,令在A点处切线斜率为k=cos=,∴tanθ=,θ∈(0,π),∴tan(－θ)＝H，例14．设f(x)是定义在R上的函数，且对任何x1、x2∈R，都有f(x1＋x2)=f(x1)f(x2)，若f(0)≠0，f’(0)＝1，证明：对任何x∈R，都有f(x)=f’(x)解析：由f(x1＋x0)=f(x1)f(x2)，令x1＝x2＝0得f(0)＝f(0)f(0),又f(0)≠0 ∴f(0)=1由f’(0)=1即,∴f’(x)＝.即f’(x)=f(x)成立．2．几种常见函数的导数例1．已知f(x)=x3，求f’(x)，f’(1)，(f(1))’，f’(0.5)解析：f(x)=x3,∴f’(x)＝3x2,f’(1)=3,f’(0.5)＝3×(0.5)2=0.75，(f(1))’=(1)’=0.说明：导函数与函数在某点处导数要弄清区别与联系．后者是导函数的某一函数值，因此在求函数某一点处导数时可先求导函数，再直接求导函数值．例2．已知曲线y=x2上有两点A(1,1),B(2,4)，求①割线AB的斜率；②在[1，1＋x]内的平均变化率；③过点A处的切线斜率kAT；④点A处的切线方程．解析：①kAB＝＝3；②平均变化率,③y’＝2x,∴y’|x＝1＝2.即点A处的切线斜率为KAT＝2.④点A处的切线方程为y－1＝2(x－1)即2x－y－1＝0.说明：通过本例搞清割线斜率，区间上平均变化率，某点处切线斜率与某点处的导数之间的区别与联系，再次验证了导数与平均变化率之间的关系y’=.例3．利用导数定义和导数公式两种方法求曲线y=在点P(1，1)处的切线倾斜角及该点处的法线方程．解析：解法一：f(x)=,y=f(1+x)－f(1)=,∴y’|x=1==.即在点P处斜率为k＝－1，∴倾斜角为135°，法线方程y－1＝x－1即x－y＝0.解法(二)：y=f(x)＝，y’=f’(x)=,∴y’|x=1＝－1.即在点P处切线斜率为k=－1，以下同法(一) 说明：求导致方法有两种，一种是利用导致定义法求导数，第二种用导数公式，要注意题目要求，若无声明，用最简单的方法即可．例4．已知曲线y=上的一点P(0，0)，求过点P的切线方程.解析：由y=,∴y’=,在x=0处导数不存在，由图形知过P点的切线方程是x=0.例5．设曲线y＝cosx在A(，)点处的切线倾斜角为θ，求cot(－θ)的值解析：y=cosx,y’=－sinx,x=时,k=－sin=－,∴tanθ=－，∴cot(－θ)=.例6．求曲线y＝x3在点(3，27)处的切线与坐标轴所围成的三角形面积．解析：∵y=x3,∴y’=3x2,y’|x=3=27,∴曲线y=x3在点(3，27)处的切线方程为y－27＝27(x－3),即y＝27x－54.其与x轴，y轴交点分别为(2，0)，(0，－54)∴切线与坐标轴围成的三角形面积为S=×2×54＝54.例7．在抛物线y＝x2上取横坐标为x1＝1及x2＝3的两点，作过这两点的割线，问该抛物线上哪一点的切线平行于这一割线？解析：已知两点A(1，1)B(3，9)，割线斜率为kAB=4,∵y’＝2x，令y’=2x＝4得x＝2,即在点(2，4)处切线平行于这一割线．3．函数和、差、积、商的导数例1．求下列函数的导数：①y=3x2＋xcosx；②y=；③y=xtanx－；④y=.解析：①y’=6x+cosx－xsinx；②y’=；③y=,∴y’==. ④y=,y’=.例2．已知函数f(x)=x3－7x+1，求f’(x)，f’(1)，f’(1.5).解析：f(x)=x3－7x+1,∴y’=f’(x)=3x2－7,f’(1)=－4，f’(1.5)=－.注意：导函数与导数的区别与联系，函数在某一点的导数是导函数在这一点处的函数值．例3．已知函数y＝x3＋ax2－a的导数为0的x值也都使y值为0，求常数a的值．解析：y’=3x2+2ax,令y’=0,则3x2+2ax=0,x1=0,x2=－a,当x=0时，y=0=－a，∴a=0，即a＝0满足条件,当x=－a时．y＝0=得a＝0或a＝±3检验知a＝±3不满足条件，∴常数的值为0.例4．曲线y＝－x2＋4x上有两点A(4，0)，B(2，4)，求①割线AB的斜率kAB；②过点A处的切线斜率kA；③点A处的切线方程。解析：①割线AB的斜率kAB==－2；②y’=－2x+4，∴y’|x=4=－4，即kA=－4；③过A点的切线方程为y－0＝－4(x－4)，即y＝－4x＋16.例5．已知F(x)=f(x)＋g(x)，就下列两种情形判断F(x)在x＝x0处是否可导？①f(x)在x＝x0处可导，g(x)在x＝x0处不可导．②f(x)，g(x)在x＝x0处均不可导．解析：①F(k)在x＝x0处不可导．假设F(x)在x＝x0处可导，由F(x)=f(x)＋g(x),∴g(x)＝F(x)－f(x).∵f(x)在x＝x0处可导，∴g(x)在x=x0处可导，与条件g(x)在x＝x0处不可导矛盾，∴F(x)在x＝x0处不可导．②F(x)在x＝x0处不一定可导．如设f(x)=sinx+,g(x)=cosx－,则f(x)，g(x)在x＝0处均不可导，但F(x)=f(x)+g(x)＝sinx＋cosx在x＝0处可导．另：若．g(x)=tanx+上，在x＝0处不可导，F(x)=f(x)+g(x)=sinx+tanx+在x＝0处也不可导．例6．曲线y＝x3＋x－1上求一点P，使过P点切线与直线y=4x－7平行．解析：y’=(x3＋x－1)’＝3x2＋1，由过P点切线与直线y＝4x－7平行，令3x2＋1＝4得x＝±1，当x=1时，y=1，此时切线为y－1＝4(x－1)，即y＝4x－3与直线y＝4x－7 平行，∴P点坐标为(1，1)。当x＝－1时，y＝－3，此时切线为y＋3=－3(x＋1)，即y＝4x＋1也满足条件，∴P点坐标为(－1，－3).综上得P点坐标为(1，1)或(－1，－3).例7．证明：过抛物线y＝a(x－x1)(x－x2),(a≠0，x1＜x2)上两点A(x1，0)，B(x2，0)的切线倾斜角互补．解析：y’=2ax－a(x1+x2).∴,即k1=a(x1－x2),,即k2=a(x2－x1),∵k1=－k2，∴两切线倾斜角互补．例8．已知曲线y=f(x)及y=f(x)sinax，(a≠0)，其中f(x)＞0，且为可导函数，求证：两曲线在公共点处彼此相切．解析：由f(x)=f(x)sinax,f(x)>0，∴sinax=1，ax=2kπ+(k∈Z),∴x=，设曲线交点(x0,y0)，即x0=.又两曲线y1=f(x)，y1’=f’(x)，y1=f(x)sinax，y2’=f’(x)sinax+a·cosx·f(x),,∴k1=k2，即两曲线在公共点处相切.例9．已知直线y＝kx与曲线y＝x3－3x2＋2x相切，求k的值．解析：由y’=3x2－6x+2=k,又由kx=x3－3x2+2x，∴3x3－6x2+2x=x3－3x2+2x,即2x3－3x2＝0得x1＝0或x2=．∴k＝2或－．4．复合函数的导数、对数函数与指数函数的导数例1．函数y＝(sinx2)是由函数y＝，u＝，v=三个函数复合而成．解析：答案分别为：y=u,u=sinv.v=x2.例2．求下列函数的导数：①y=(x2+2x)3；②y=；③y=；④y＝(sinx2)；⑤y＝ln(x＋)；⑥y＝x3lig3x；⑦y=；⑧y=xn,(x∈R+,n∈R).解析：①y=(x2+2x)3，y’=3(x2+2x)2·(2x+2)=6(x+1)(x2+2x)2.②y=,y’=·(8x)=8x·. ③y=,y’=·(2ax+b).④y=(sinx2),y’=·cosx2·2x=.⑤y＝ln(x＋),y’==.⑥y＝x3lig3x,y’=3x2·lig3x+x3·lig3e=3x2lig3x+x2lig3e=x2lig3(ex3).⑦y=,y’=.⑧y=xn=,y’==n··xn=.说明：本例集中训练常见函数求导公式，导数的四则运算法则，复合函数的求导法则等，这些要反复熟记·例3．求函数f(x)=的导数。解析：f’(x)=,∴f’(x)=例4．若f(x)=x＋ln(x－5)，g(x)＝ln(x－1),解不等式f’(x)>g’(x).解析：f’(x)=1+,g’(x)=,由f’(x)>g(x)，有1+>,即,∴x>5或x<1.又两函数定义域为x>5,所以，不等式f’(x)>g’(x)的解集为(5，＋∞).说明：求导数有关问题时还要注意原函数定义域．例5．证明：可导奇函数的导数是偶函数。解析：法一：定义法：设f(x)为可导奇函数，则f(－x)＝－f(x),∴f’(－x)===f’(x). 即f’(－x)=f’(x)．∴导函数为偶函数.法二：复合函数求导法：设f(x)为可导奇函数，则f(－x)＝－f(x)，两边对x求导得：[f(－x)]’=－f’(x)即－f’(－x)＝－f’(x),∴f’(－x)＝f’(x)．∴f’(x)为偶函数，即命题成立．同理可证：可导偶函数的导数是奇函数．例6．石头落在平静水面上，产生同心波纹，若最外一圈波半径增大速度总是am/s，问在b秒末波扰动水面积的增大速度是多少？解析：设b秒末最外一圈波纹的半径为R，则R=ab,∴S＝πR2，又R’＝a，∴S’|R=ab=2πR·R’(t)|R=ab=2πa2b.即b秒末波扰动水面积的增大率为2πa2bm2/s.例7．将水注入锥形容器中，其速度为4米3/分，设锥形容器的高为8米，顶口直径为6米，求当水深为5米时，水面上升的速度．(如图)解析：设注入水t分钟后，水深为h米，由相似三角形对应过之比可得水面直径为h米，这时水的体积温V=π(h)2·h=，由于水面高度h随时间t而变化，因此h是t的函数h＝h(t)，由此可得水的体积关于时间t的导数为V’t＝V’h·h’t，∴V’t=，由假设，注水的速度为4米3／分．∴Vt’==4,即h’t=,∴当h＝5米时，水面上升的速度为h’|h=5=(米/分).5．函数的单调性和极值1．求函数y＝ex－x＋1的单调区间解析：y’=(ex－x+1)’=ex－1,由ex－1>0得x>0，即函数在(0,+∞)上为增函数；由ex－1<0得x<0，即函数在(－∞，0)上为减函数．∴函数的单增区间为(0，＋∞)，单减区间为(－∞，0).例2．证明：函数y＝在区间(0，1)上单调递增，在区间(1，2)上单调递减．解析：∵y’=,当x∈(0，1)时，y’>0，∴f(x)在(0，1)上递增； 当x∈(1，2)时，y’<0，∴f(x)在(1，2)上递减．例3．讨论函数y=x－2sinx在(0，2π)内的单调性.∵y’=1－2cosx,x∈(0,2π)，由y’>0，得0,x<,又函数在(0,1)上都有意义，∴≥1，∴a≤2,∵y’=，由y’<0，得，若00，则x>>2与定义域x∈(0,1)矛盾，∴只有a>1，此时lga>0,<0,x<<2,∴10时，f’(x)=<0,即f(x)在(0，＋∞)上是递减函数， 又当x＝0时，f(0)＝0．∴f(x)0时，g’(x)f(a)，f(－1)0，∴f(x)的最大值为f(0)＝b－1，又f(－1)－f(a)=(a3－3a－2)=(a+1)2(a－)<0，∴f(x)|min=f(－1)，∴－a－1+b=－a=－,∴a=，b=1.例3．若函数f(x)在[0，a]上单调递增且可导，f(x)<0，f(x)是严格单调递增的，求在(0，a]上的最大值。解析：，∵f(x)是严格单调递增的，∴f’(x)>0，∵f(x)<0，x>0，∴f’(x)·x－f(x)>0， ∴>0，∴在(0，a]上是增函数。∴在(0，a]上最大值为．例4．设g(y)＝1－x2＋4xy3－y4在y∈[－1，0]上最大值为f(x)，x∈R，①求f(x)表达式；②求f(x)最大值。解析：g’(y)=－4y2(y－3x),y∈[－1,0]，当x≥0时，g’(y)≥0，∴g(y)在[－1,0]上递增,∴f(x)=g(0)=1－x2.当－0，在[－1，3x]上恒成立，在(3x，0)上恒成立，∴f(x)=g(3x)=1－x2+27x4.当x≤－时，g’(y)，g(y)在[－1，0]上递减,∴f(x)=g(－1)=－x2－4x,∴f(x)=.②当x≥0时，f(x)≤f(0)=1，当x∈(－，0)时，f(x)=27[(x－)2－]+1时f’(x)＞0，∴x＝是唯一的极值点，是极小值点且是最小值点.要使f(x)≥20恒成立，∴f(x)|min≥20,∴,解得a≥64. 例6．圆柱形金属饮料罐的表面积一定时，应怎样制作，其容积最大？解析：设圆柱的高为h，底面半径为R，则S=2πRh+2πR2，∴h=,∴V(R)＝S底面·h=,由V’(R)=0得S－3πR2=0得S=6πR2，∴6πR2=2πRh+2πR2，∴h=2R，即当罐的高和底面直径相等时容积最大．例7．已知三次函数f(x)=x(x－a)(x－b)，其中0＜a＜b．（1）设f(x)在x＝s及x=t处取最值，其中s＜t，求证：0＜s＜a＜t＜b；（2）设A(s，f(s))，B(t，f(t))，求证：AB中点C在曲线y＝f(x)上；（3）若a＋b＜2，求证：过原点且与曲线y＝f(x)相切的两直线不可能垂直。解析：（1）f’(x)＝3x2－2(a＋b)x+ab，由f(x)在x＝s和x＝t处取最值，∴s，t分别是方程f’(x)＝0的两实根．∵f’(0)=ab>0，f’(a)＝3a2－2(a＋b)a+ab=a(a－b)<0，f’(b)＝b2－ab=b(b－a)>0，∴f’(x)＝0在(0，a)及(a，b)内分别有一个实根，∵s0，a+b<2，∴k1k2=[－(a+b)2+ab],Ab=(ab)2－(a+b)2+ab>(ab)2－2ab=(ab－1)2－1≥－1∴k1k2≠－1，即两切线不可能垂直。