矢量及运算规则.pdf

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1、电磁场与电磁波第1章矢量分析一、矢量和标量的定义1.标量：只有大小，没有方向的物理量。如：温度T、长度L等2.矢量：不仅有大小，而且有方向的物理量。如:力F、速度v、电场E等矢量表示为：A

2、

3、Aaˆ其中：

4、A

5、为矢量的模，表示该矢量的大小。aˆ为单位矢量，表示矢量的方向，其大小为1。所以：一个矢量就表示成矢量的模与单位矢量的乘积。电磁场与电磁波第1章矢量分析矢量和标量的定义例1：在直角坐标系中，x方向的大小为6的矢量如何表示？6xˆyy/ˆ图示法：6xˆxx/ˆF力的图示法：FFFNfFNFfG电磁场与电磁波第1章矢量分析

6、二、矢量运算规则1.加法:矢量加法是矢量的几何和,服从平行四边形规则。BCABCBAAa.满足交换律：ABBAb.满足结合律：(AB)(CD)(AC)(BD)电磁场与电磁波第1章矢量分析矢量运算规则在直角坐标系下的矢量表示:z三个方向的单位矢量用xyzˆ,,ˆˆ表示。AzA根据矢量加法运算：AoyAyAAAAxxyzx其中：AAxAˆ,,AyˆAAzˆxxyyzz所以：AAxˆAyˆAzˆxyz电磁场与电磁波第1章矢量分析矢量运算规则z矢量：AAxˆAyˆAzˆxyz模的计算：

7、

8、

9、AA222AAAzAxyz单位矢量：AAAAxzyaˆxˆyˆzˆoAy

10、A

11、

12、A

13、

14、A

15、

16、A

17、Ayxcosxˆcosyˆcoszˆx方向角与方向余弦：,,AAAcosx,cosy,cosz

18、A

19、

20、A

21、

22、A

23、在直角坐标系中三个矢量加法运算：AB(ABx)ˆ(ABy)ˆ(ABz)ˆxxyyzz电磁场与电磁波第1章矢量分析矢量运算规则2.减法：换成加法运算DABA()B逆矢量：B和()B的模相等，方向相反，互为逆矢量。DADAB=ABBBBC

24、ABC0A推论：任意多个矢量首尾相连组成闭合多边形，其矢量和必为零。在直角坐标系中两矢量的减法运算：AB(ABx)ˆ(ABy)ˆ(ABz)ˆxxyyzz电磁场与电磁波第1章矢量分析矢量运算规则3.乘法：（1）标量与矢量的乘积（数乘）：k0方向不变，大小为

25、k

26、倍kAkAa

27、

28、ˆk0k0方向相反，大小为

29、k

30、倍（2）矢量与矢量乘积分两种定义a.标量积（点积）：BAB

31、A

32、

33、B

34、cosA两矢量的点积含义：一矢量在另一矢量方向上的投影与另一矢量模的乘积，其结果是一标量。电磁场与

35、电磁波第1章矢量分析矢量运算规则推论1：满足交换律ABBA推论2：满足分配律ABC()ABAC推论3：当两个非零矢量点积为零,则这两个矢量必正交。•在直角坐标系中，已知三个坐标轴是相互正交的，即xyˆˆ0,xzˆˆ0,yzˆˆ0xxˆˆ1,yyˆˆ1,zzˆˆ1有两矢量点积：AB(AxˆAyˆAzˆ)(BxByBzˆˆˆ)xyzxyzABABABxxyyzz•结论:两矢量点积等于对应分量的乘积之和。电磁场与电磁波第1章矢量分析矢量运算规则b.矢量积（叉积）：cˆBAB

36、

37、

38、

39、

40、sinABcˆ•含义：A两矢量叉积，结果得一新矢量，其大小为这两个矢量组成的平行四边形的面积，方向为该面的法线方向，且三者符合右手螺旋法则。推论1：不服从交换律：ABBA,ABBA推论2：服从分配律：A()BCABAC推论3：不服从结合律：A(BC)(AB)C推论4：当两个非零矢量叉积为零，则这两个矢量必平行。电磁场与电磁波第1章矢量分析矢量运算规则z在直角坐标系中，两矢量的叉积运算如下：oAB(AxˆAyˆAzˆ)(BxByBzˆˆˆ)xyzxyzyx(AB

41、ABx)ˆ(ABABy)ˆ(ABABz)ˆyzzyzxxzxyyx两矢量的叉积又可表示为：xˆyˆzˆABAAAxyzBBBxyz电磁场与电磁波第1章矢量分析矢量运算规则（3）三重积：a.标量三重积（混合积）ABC

42、

43、

44、

45、

46、ABC

47、sincosSBCACB含义：标量三重积结果为三矢量构成的平行六面体的体积。电磁场与电磁波第1章矢量分析矢量运算规则VABC()CAB()BCA()SBCA注意：先后轮换次序。C推论：三个非零矢量共面的条件。ABC()0B在直角坐标系中

48、：xˆyˆzˆABC()(AxˆAyˆAzˆ)BBBxyzxyzCCCxyzAAAxyzABC()BBBxyzCCCxyzb.矢量三重积：A(BC)(ACB)(ABC)电磁场与电磁波第1章矢量分析矢量运算规则例2：设r