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《高考数学一轮复习 7.8立体几何中的向量方法（Ⅰ）学案.doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、§7.8 立体几何中的向量方法(Ⅰ)——证明平行与垂直学考考查重点 1.利用线线、线面、面面关系考查空间向量的运算；2.能用向量方法证明线面的平行或垂直；3.考查用向量方法解决立体几何中的一些探索性问题．本节复习目标 1.理解直线的方向向量与平面的法向量；能用向量语言表述与直线、直线与平面、平面与平面的垂直和平行关系；3.能用向量方法证明有关直线和平面位置关系的一些定理(包括三垂线定理)；4.了解向量方法在研究立体几何问题中的应用．教材链接·自主学习1．用向量表示直线或点在直线上的位置(1)给定一个定点A和一个向量a，再任给一个实
2、数t，以A为起点作向量＝ta，则此向量方程叫做直线l的参数方程．向量a称为该直线的方向向量．(2)对空间任一确定的点O，点P在直线l上的充要条件是存在唯一的实数t，满足等式＝(1－t)＋t，叫做空间直线的向量参数方程．2．用向量证明空间中的平行关系(1)设直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2，则l1∥l2(或l1与l2重合)⇔v1∥v2.(2)设直线l的方向向量为v，与平面α共面的两个不共线向量v1和v2，则l∥α或l⊂α⇔存在两个实数x，y，使v＝xv1＋yv2.(3)设直线l的方向向量为v，平面α的法向量为u，则l∥α或l
3、⊂α⇔v⊥u.(4)设平面α和β的法向量分别为u1，u2，则α∥β⇔u1∥u2.3．用向量证明空间中的垂直关系(1)设直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2，则l1⊥l2⇔v1⊥v2⇔v1·v2＝0.(2)设直线l的方向向量为v，平面α的法向量为u，则l⊥α⇔v∥u.(3)设平面α和β的法向量分别为u1和u2，则α⊥β⇔u1⊥u2⇔u1·u2＝0.基础知识·自我测试1．两不重合直线l1和l2的方向向量分别为v1＝(1,0，－1)，v2＝(－2，0,2)，则l1与l2的位置关系是__________．2．已知＝(1,5，－2)，＝
4、(3,1，z)，若⊥，＝(x－1，y，－3)，且BP⊥平面ABC，则实数x，y，z分别为______________．3．已知a＝(－2，－3,1)，b＝(2,0,4)，c＝(－4，－6,2)，则下列结论正确的是( )A．a∥c，b∥cB．a∥b，a⊥cC．a∥c，a⊥bD．以上都不对4．若平面α，β垂直，则下面可以作为这两个平面的法向量的是( )A．n1＝(1,2,1)，n2＝(－3,1,1)B．n1＝(1,1,2)，n2＝(－2,1,1)C．n1＝(1,1,1)，n2＝(－1,2,1)D．n1＝(1,2,1)，n2＝(0，
5、－2，－2)5．若平面α、β的法向量分别为n1＝(2，－3,5)，n2＝(－3,1，－4)，则( )A．α∥βB．α⊥βC．α、β相交但不垂直D．以上均不正确题型分类·深度剖析题型一 利用空间向量证明平行问题例1 如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，M、N分别是C1C、B1C1的中点．求证：MN∥平面A1BD.变式训练1：如图所示，平面PAD⊥平面ABCD，ABCD为正方形，△PAD是直角三角形，且PA＝AD＝2，E、F、G分别是线段PA、PD、CD的中点．求证：PB∥平面EFG.题型二 利用空间向量证明垂直问题例2
6、 如图所示，正三棱柱ABC—A1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1的中点．求证：AB1⊥平面A1BD.变式训练2：如图所示，已知直三棱柱ABC—A1B1C1中，△ABC为等腰直角三角形，∠BAC＝90°，且AB＝AA1，D、E、F分别为B1A、C1C、BC的中点．求证：(1)DE∥平面ABC；(2)B1F⊥平面AEF.题型三 利用空间向量解决探索性问题例3 (2012·福建)如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝AD＝1，E为CD的中点．(1)求证：B1E⊥AD1；(2)在棱AA1上是否存在一点P，使得DP∥平面B
7、1AE？若存在，求AP的长；若不存在，说明理由．变式训练3：如图所示，四棱锥S—ABCD的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的倍，P为侧棱SD上的点．(1)求证：AC⊥SD.(2)若SD⊥平面PAC，则侧棱SC上是否存在一点E，使得BE∥平面PAC.若存在，求SE∶EC的值；若不存在，试说明理由．
