高二数学 8.5 抛物线及其标准方程同步辅导教材.doc

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1、8.5抛物线及其标准方程本章主要内容8.5抛物线及其标准方程课本第115页至第119页一、本讲主要内容1、抛物线的定义2、抛物线的标准方程3、抛物线定义的运用4、运用待定系数法求抛物线方程三、学习指导1、抛物线的定义是从椭圆、双曲线的第二定义引出的,采用了分类讨论的思想。椭圆和双曲线都有两个定义,但抛物线只有一个。椭圆和双曲线的顶点、焦点、准线成对出现,而抛物线只有一个焦点、顶点、准线。2、课本P.116给出了四种不同开口方向之下的抛物线方程,其规律有:(1)纵向比较:可记忆成“次数定轴,系数定向”。次数定轴是指一次项系数的正负决定开口方向,若系数为正,则抛物线开口为坐标轴正方向;若

2、系数为负,则抛物线开口为坐标轴负方向。(2)横向比较;焦点在对称轴上,准线与对称轴垂直;一次项系数的1/4值为焦点非零坐标,其相反数为准线方程中的数值。3、求抛物线的标准方程,思路同椭圆及双曲线,用待定系数法。尽管抛物线方程中的参数只有一个p,但因类型较多,因此在解题时应正确选用。4、用定义解题是抛物线的重要思想方法。课本P.117例2是一道重要、典型的例题,同学们应仔细体会转化的思想。四、典型例题例1、互相垂直的两直线l1、l2交于点M,点N∈l1,以A、B为端点的弧l上任一点到l2的距离与到点N的距离相等,若△AMN是锐角三角形,

3、AM

4、=,

5、AN

6、=3,

7、BN

8、=6,建立适当的

9、坐标系,求曲线弧C的方程。解题思路分析:因弧C上任意一点到直线l2的距离与到点N距离相等,根据抛物线定义可知,AB是抛物线的一段弧,N为焦点,l2为准线。以l1为x轴,MN中垂线为y轴建立平面直角坐标系,则抛物线方程为y2=2px(p>0),弧C方程为y2=2px,xA≤x≤xB,直线l2:。过A作AA1⊥l2,A1为垂足,则

10、AA1

11、=

12、AN

13、=3∵

14、AM

15、=∴

16、A1M

17、=即yA=∴①又

18、AA1

19、=②由①②得或因△AMN为锐角三角形,而当xA=2,p=2时,N(1,0),A在x轴上的射影在N右侧,△AMN为钝角三角形,故舍去。∵

20、BN

21、=xB+∴xB=4∴曲线弧C的方程为y2=8x

22、(1≤x≤4,y>0)注:本题也可以以l1、l2所在直线分别为x轴、y轴建立坐标系,不过曲线弧C所在抛物线方程不是标准方程。例2、抛物线拱桥如图,水面宽

23、AB

24、=2a时,拱顶离水面h,一货船在水面上部分的横截面是矩形CDEG。(1)若矩形长

25、CD

26、为a,则高

27、DE

28、为何值时船才能通过;(2)求矩形面积S的临界值M,使当S≤M时,可适当调整矩形的长与高,让船通过拱桥;而当S>M时,无论怎样调整,船都不能过桥。解题思路分析:这是一个实际问题,为了精确地求出

29、DE

30、,应通过建立坐标系,用解析几何知识求解。(1)如图建立坐标系xOy,

31、DE

32、最大值为E在抛物线上,当船高小于

33、DE

34、最大值时,

35、货船可以通过。由抛物线的对称性知,xD=xE=,因D到x轴距离为h,故欲求

36、ED

37、,只需求E到x轴的距离,即E点纵坐标的绝对值。设抛物线方程为x2=-2py(p>0)∵B(a,-h)在抛物线上∴a2=2ph∴2p=∴抛物线方程为x2=令x=则y=∴yE=∴

38、DE

39、=h-

40、yE

41、=h-∴高

42、DE

43、≤时,船能通过(2)本小题即为求内含矩形CDEG的最大值。建立目标函数,用基本不等式求解。设E(x0,y0),则∴S=2x0(y0+h)=2x0(≤≤当且仅当2x02=a2-x02,x0=时,Smax=∴M=注:解应用型问题,首先要读懂题意,如本题“船能通过”的含义,然后在正确翻译为数学语言的

44、基础上,建立数学模型。象本题的函数,再用相关数学知识求解。例3、抛物线P过点A(m,6),B(,m),求p的标准方程。解题思路分析:首先应确定点A、B所在象限,由此定抛物线的标准方程类型。象限的区分通过点A、B的坐标符号来讨论。(1)当m>0时,A、B均在第一象限;①设p:y2=2px(P>0),则∴∴p:y2=18x②设P:x2=2py(p>0),则∴p:(2)当m<0时,点A在第二象限,点B在第四象限,抛物线p的标准方程不存在。注:含字母问题应从分类讨论的思想着手,找到解题突破口。例4、已知抛物线方程为标准方程,焦点在y轴上,抛物线上一点M(a,-4)到焦点F的距离为S,求抛物线

45、的方程和a的值。解题思路分析:不妨设抛物线方程为x2=2my(m≠0)∵M在抛物线上∴m<0,准线方程y=∵

46、MF

47、=5∴曲定义,M到准线的距离:∴m=-2∴抛物线方程x2=-4y令y=4,x2=16∴x=±4∴a=±4注:本题利用定义将

48、MF

49、转化为到准线的距离,降低了计算量。例5、椭圆(x-3)2+y2=9外切,且与y轴相切的圆的圆心的轨迹方程。解题思路分析:设定圆圆心M(3,0),半径r=3,动圆圆心P(x,y),半径为R,则由已知得下列等式∴

50、PM

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