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《高二数学 8.5抛物线及其标准方程(备课资料)大纲人教版必修》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、●备课资料一、在教学抛物线的标准方程时，怎样把位置特征（标准位置）和方程的特点（标准方程）统一起来？答：（1）使学生把握顶点、对称轴、开口方向与方程形式的对应关系：（2）已知抛物线的标准方程求其焦点坐标和准线方程时，可以根据二次项、一次项的分布画一个草图，进行初步的“定位”；再根据2p的数值来“定量”，即求出的值.然后把两者结合起来即可.二、参考例题［例1］指出抛物线的焦点坐标、准线方程.（1）x2=4y(2)x=ay2(a≠0)分析：（1）先根据抛物线方程确定抛物线是四种中哪一种，求出p，再写出焦点坐标和准线
2、方程.（2）先把方程化为标准方程形式，再对a进行讨论，确定是哪一种后，求p及焦点坐标与准线方程.解：（1）∵p=2∴焦点坐标是（0，1），准线方程是：y=-1(2)原抛物线方程为：y2=x∴2p=①当a＞0时，=，抛物线开口向右∴焦点坐标是（,0）,准线方程是：x=-.②当a＜0时，=-,抛物线开口向左∴焦点坐标是（,0），准线方程是：x=-.综合上述，当a≠0时，抛物线x=ay2的焦点坐标为(,0),准线方程为x=-.［例2］若直线y=kx-2与抛物线y2=8x交于A、B两点，且AB中点的横坐标为2，求此直线
3、方程.分析：由直线与抛物线相交利用韦达定理列出k的方程求解.另由于已知与直线斜率及弦中点坐标有关，故也可利用“作差法”求k.解法一：设A（x1,y1)、B(x2,y2),则由可得：k2x2-(4k+8)x+4=0∵直线与抛物线相交∴k≠0且Δ＞0则k＞-1∵AB中点横坐标为∴解得:k=2或k=-1(舍去）故所求直线方程为：y=2x-2解法二：设A（x1,y1),B(x2,y2)则有y12=8x1y22=8x2两式作差解：(y1-y2)(y1+y2)=8(x1-x2)即∵x1+x2=4∴y1+y2=kx1-2+k
4、x2-2=k(x1+x2)-4=4k-4∴k=故k=2或k=-1(舍去)则所求直线方程为:y=2x-2［例3］求证：以抛物线的焦点弦为直径的圆心与抛物线的准线相切.分析：可设抛物线方程为y2=2px(p＞0).如图所示，只须证明=
5、MM1
6、，则以AB为直径的圆，必与抛物线准线相切.证明：作AA1⊥l于A1，BB1⊥l于B1.M为AB中点，作MM1⊥l于M1，则由抛物线的定义可知：
7、AA1
8、=
9、AF
10、，
11、BB1
12、=
13、BF
14、在直角梯形BB1A1A中：
15、MM1
16、=(
17、AA1
18、+
19、BB1
20、)=（
21、AF
22、+
23、BF
24、）=
25、
26、AB
27、∴
28、MM1
29、=
30、AB
31、，故以AB为直径的圆，必与抛物线的准线相切.说明：类似有：以椭圆焦点弦为直径的圆与相对应的准线相离；以双曲线焦点弦为直径的圆与相应的准线相交.［例4］（1）设抛物线y2=4x被直线y=2x+k截得的弦长为3，求k值.（2）以（1）中的弦为底边，以x轴上的点P为顶点作三角形，当三角形的面积为9时，求P点坐标.分析：（1）题可利用弦长公式求k，（2）题可利用面积求高，再用点到直线距离求P点坐标.解：（1）由得：4x2+(4k-4)x+k2=0设直线与抛物线交于A（x1,y1)与B（x2,
32、y2)两点.则有：x1+x2=1-k，x1·x2=∴
33、AB
34、=∵
35、AB
36、=3∴=3即k=-4(2)∵S△=9,底边长为3∴三角形高h=∵点P在x轴上∴设P点坐标是（x0,0）则点P到直线y=2x-4的距离就等于h，即∴x0=-1或x0=5即所求P点坐标是（-1，0）或（5，0）.［例5］已知定直线l及定点A（A不在l上），n为过A且垂直于l的直线，设N为l上任一点，AN的垂直平分线交n于B，点B关于AN的对称点为P，求证P的轨迹为抛物线.分析：要证P的轨迹为抛物线，有两个途径，一是证明P点的轨迹符合抛物线的定义
37、，二是证明P的轨迹方程为抛物线的方程，可先用第一种方法，由A为定点，l为定直线，为我们提供了利用定义的信息，若能证明PA=PN且PN⊥l即可.证明：如图所示，连结PA、PN、NB.由已知条件可知：PB垂直平分NA，且B关于AN的对称点为P.∴AN也垂直平分PB.则四边形PABN为菱形.即有PA=PN.∵AB⊥l.∴PN⊥l.则P点符合抛物线上点的条件：到定点A的距离与到定直线的距离相等，所以P点的轨迹为抛物线.●备课资料参考例题［例1］若线段P1P2为抛物线C：y2=2px(p＞0)的一条焦点弦，F为C的焦点，
38、求证：分析：此题证的是距离问题，如果把它们用两点间的距离表示出来，其计算量是很大的.我们可以用抛物线的定义，巧妙运用韦达定理，也可以用抛物线的定义与平面几何知识，把结论证明出来.证法一：∵F(,0)，若过F的直线即线段P1P2所在直线斜率不存在时，则有
39、P1F
40、=
41、P2F
42、=p.∴若线段P1P2所在直线斜率存在时，设为k,则此直线为：y=k(x-)(k≠0)，且设P1（x1,y2),P
