高中数学 第四章 数系的扩充与复数的引入 4.1 数系的扩充与复数的引入教案 北师大选修.doc

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1、4.1数系的扩充与复数的引入教学目标（1）了解数的概念发展和数系扩充的过程，了解引进虚数单位的必要性和作用，体会数学发现和创造的过程，以及数学发生、发展的客观需求；（2）理解复数的基本概念以及复数相等的充要条件．教学重点，难点：复数的基本概念以及复数相等的充要条件．教学过程一．问题情境1．情境：1)数的概念的发展从正整数扩充到整数，从整数扩充到有理数，从有理数扩充到实数，数的概念是不断发展的，其发展的动力来自两个方面．①解决实际问题的需要．由于计数的需要产生了自然数；为了刻画具有相反意义的量的需

2、要产生了负数；由于测量等需要产生了分数；为了解决度量正方形对角线长的问题产生了无理数(即无限不循环小数)．②解方程的需要．为了使方程有解，就引进了负数，数系扩充到了整数集；为了使方程有解，就要引进分数，数系扩充到了有理数集；为了使方程有解，就要引进无理数，数系扩充到了实数集．引进无理数以后，我们已经能使方程永远有解．但是，这并没有彻底解决问题，当时，方程在实数范围内无解．为了使方程有解，就必须把实数概念进一步扩大，这就必须引进新的数．（可以以分解因式：为例）2．问题：实数集应怎样扩充呢？二．建构

3、数学1．为了使方程有解，使实数的开方运算总可以实施，实数集的扩充就从引入平方等于的“新数”开始．为此，我们引入一个新数，叫做虚数单位．并作如下规定：①；②实数可以与进行四则运算，进行四则运算时，原有的加法、乘法运算律仍然成立．在这种规定下，可以与实数相乘，再同实数相加得．由于满足乘法交换律和加法交换律，上述结果可以写成()的形式．2．复数概念及复数集形如()的数叫做复数．全体复数构成的集合叫做复数集，一般用字母来表示，即．显然有N*NZQRC．3．复数的有关概念1)复数的表示：通常用字母表示，即

4、()，其中分别叫做复数的实部与虚部；2）虚数和纯虚数①复数()，当时，就是实数．②复数()，当时，叫做虚数．特别的，当，时，叫做纯虚数．3)复数集的分类分类要求不重复、不遗漏，同一级分类标准要统一．根据上述原则，复数集的分类如下：4)两复数相等如果两个复数与（）的实部与虚部分别相等，我们就说这两个复数相等．即，（复数相等的充要条件），特别地：（复数为的充要条件）．复数相等的充要条件，提供了将复数问题化归为实数问题来解决的途径．5）两个复数不能比较大小：两个实数可以比较大小，但两个复数，如果不全是

5、实数，只有相等与不等关系，不能比较它们的大小．6）复平面的概念复平面、实轴、虚轴：复数z=a+bi(a、b∈R)与有序实数对(a，b)是一一对应关系这是因为对于任何一个复数z=a+bi(a、b∈R)，由复数相等的定义可知，可以由一个有序实数对(a，b)惟一确定，如z=3+2i可以由有序实数对(3，2)确定，又如z=－2+i可以由有序实数对(－2，1)来确定；又因为有序实数对(a，b)与平面直角坐标系中的点是一一对应的，如有序实数对(3，2)它与平面直角坐标系中的点A，横坐标为3，纵坐标为2，建立

6、了一一对应的关系　由此可知，复数集与平面直角坐标系中的点集之间可以建立一一对应的关系.点Z的横坐标是a，纵坐标是b，复数z=a+bi(a、b∈R)可用点Z(a，b)表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，也叫高斯平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴，实轴上的点都表示实数，对于虚轴上的点要除原点外，因为原点对应的有序实数对为(0，0)，它所确定的复数是z=0+0i=0表示是实数.故除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数，在复平面内的原点(0，0)表示实数0，实轴上的点(2，0)表示实数2，虚

7、轴上的点(0，－1)表示纯虚数－i，虚轴上的点(0，5)表示纯虚数5i，非纯虚数对应的点在四个象限，例如点(－2，3)表示的复数是－2+3i，z=－5－3i对应的点(－5，－3)在第三象限等等.复数集C和复平面内所有的点所成的集合是一一对应关系，即复数复平面内的点这是因为，每一个复数有复平面内惟一的一个点和它对应；反过来，复平面内的每一个点，有惟一的一个复数和它对应.这就是复数的一种几何意义.也就是复数的另一种表示方法，即几何表示方法.7）共轭复数：当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个

8、复数叫做互为共轭复数虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数8）复数的几何意义①复数a+bi，即点Z（a,b）（复数的几何形式）、即向量（复数的向量形式。以O为始点的向量，规定：相等的向量表示同一个复数。）三者的关系如下：复数复平面内的点Z（a,b）平面向量②复数的模（或绝对值）向量的模叫做复数Z=a+bi的模（或绝对值），记作或。如果b=0，那么Z=a+bi就是实数a，它的模等于（即实数a的绝对值）。==三．数学运用1．例题：例1写出下列复数的实部与虚部，并指出哪些是实数，哪些是虚数，哪些是纯