高中数学 第二章 数列章末复习课学案 新人教A版必修.doc

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1、第二章数列学习目标　1.整合知识结构，梳理知识网络，进一步巩固、深化所学知识.2.提高解决等差数列、等比数列问题的能力，培养综合运用知识解决问题的能力．知识点一　梳理本章的知识网络知识点二　对比归纳等差数列和等比数列的基本概念和公式等差数列等比数列定义如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示(q≠0)递推公式an＋1－

2、an＝d＝q中项由三个数a，A，b组成的等差数列可以看成最简单的等差数列．这时A叫做a与b的等差中项，并且A＝如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项，且G＝±通项公式an＝a1＋(n－1)dan＝a1qn－1前n项和公式Sn＝＝na1＋dq≠1时，Sn＝＝，q＝1时，Sn＝na1性质am，an的关系am－an＝(m－n)d＝qm－nm，n，s，t∈N*，m＋n＝s＋tam＋an＝as＋ataman＝asat{kn}是等差数列，且kn∈N*是等差数列是等比数列n＝2k－1，k∈N*S2k－1＝(2k－1)·a

3、ka1a2·…·a2k－1＝a判断方法利用定义an＋1－an是同一常数是同一常数利用中项an＋an＋2＝2an＋1anan＋2＝a利用通项公式an＝pn＋q，其中p、q为常数an＝abn(a≠0，b≠0)利用前n项和公式Sn＝an2＋bn(a，b为常数)Sn＝A(qn－1)，其中A≠0，q≠0且q≠1或Sn＝np(p为非零常数)知识点三　本章公式推导和解题过程中用到的基本方法和思想1．在求等差数列和等比数列的通项公式时，分别用到了累加法和累乘法；2．在求等差数列和等比数列的前n项和时，分别用到了倒序相加法和错位相减法．3．等差数列和等比数列各自都涉

4、及5个量，已知其中任意三个求其余两个，用到了方程思想．4．在研究等差数列和等比数列单调性，等差数列前n项和最值问题时，都用到了函数思想．类型一　方程思想求解数列问题例1　设{an}是公比大于1的等比数列，Sn为数列{an}的前n项和．已知S3＝7，且a1＋3,3a2，a3＋4构成等差数列．(1)求数列{an}的通项；(2)令bn＝lna3n＋1，n＝1,2，…，求数列{bn}的前n项和Tn.解　(1)由已知得解得a2＝2.设数列{an}的公比为q，由a2＝2，可得a1＝，a3＝2q，又S3＝7，可知＋2＋2q＝7，即2q2－5q＋2＝0.解得q1＝

5、2，q2＝.由题意得q＞1，∴q＝2，∴a1＝1.故数列{an}的通项为an＝2n－1.(2)由于bn＝lna3n＋1，n＝1,2，…，由(1)得a3n＋1＝23n，∴bn＝ln23n＝3nln2.又bn＋1－bn＝3ln2，∴{bn}是等差数列，∴Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝＝·ln2.故Tn＝ln2.反思与感悟　在等差数列和等比数列中，通项公式an和前n项和公式Sn共涉及五个量：a1，an，n，q(d)，Sn，其中首项a1和公比q(公差d)为基本量，“知三求二”是指将已知条件转换成关于a1，an，n，q(d)，Sn的方程组，通过方程的思想解出需

6、要的量．跟踪训练1　记等差数列的前n项和为Sn，设S3＝12，且2a1，a2，a3＋1成等比数列，求Sn.解　设数列的公差为d，依题设有即解得或因此Sn＝n(3n－1)或Sn＝2n(5－n)，n∈N*.类型二　转化与化归思想求解数列问题例2　在数列{an}中，Sn＋1＝4an＋2，a1＝1.(1)设cn＝，求证数列{cn}是等差数列；(2)求数列{an}的通项公式及前n项和的公式．(1)证明　由Sn＋1＝4an＋2，①则当n≥2，n∈N*时，有Sn＝4an－1＋2.②①－②得an＋1＝4an－4an－1.方法一　对an＋1＝4an－4an－1两边同

7、除以2n＋1，得＝2－，即＋＝2，即cn＋1＋cn－1＝2cn，∴数列{cn}是等差数列．由Sn＋1＝4an＋2，得a1＋a2＝4a1＋2，则a2＝3a1＋2＝5，∴c1＝＝，c2＝＝，故公差d＝－＝，∴{cn}是以为首项，为公差的等差数列．方法二　∵an＋1－2an＝2an－4an－1＝2(an－2an－1)，令bn＝an＋1－2an，则{bn}是以a2－2a1＝4a1＋2－a1－2a1＝3为首项，2为公比的等比数列，∴bn＝3·2n－1，∵cn＝，∴cn＋1－cn＝－＝＝＝＝，c1＝＝，∴{cn}是以为首项，为公差的等差数列．(2)解　由(1)

8、可知数列{}是首项为，公差为的等差数列．∴＝＋(n－1)＝n－，an＝(3n－1)·2n－2是数列{an}的通项公式．设S