高中数学 第二章 数列 2.2 等差数列名师讲义 新人教B版必修.doc

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1、2.2　等差数列2．2.1　等差数列第一课时　等差数列的概念及通项公式预习课本P35～38，思考并完成以下问题(1)等差数列的定义是什么？如何判断一个数列是否为等差数列？(2)等差数列的通项公式是什么？(3)等差中项的定义是什么？　　　　1．等差数列的定义如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d表示．[点睛]　(1)“从第2项起”是指第1项前面没有项，无法与后续条件中“与前一项的差”相吻合．(2)“每一项与它的前一项的差”这一运算要求是指“相邻且后项减去前项”，强调

2、了：①作差的顺序；②这两项必须相邻．(3)定义中的“同一常数”是指全部的后项减去前一项都等于同一个常数，否则这个数列不能称为等差数列．2．等差数列的通项公式已知等差数列{an}的首项为a1，公差为d.递推公式通项公式an－an－1＝d(n≥2)an＝a1＋(n－1)d3．等差中项如果三个数x，A，y成等差数列，那么A叫做x与y的等差中项．这三个数满足的关系式是A＝.[点睛]　由等差数列的通项公式an＝a1＋(n－1)d可得an＝dn＋(a1－d)，如果设p＝d，q＝a1－d，那么an＝pn＋q，其中p，q是常数．当p≠0时，an是关于n的一次函数；当p＝

3、0时，an＝q，等差数列为常数列．1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若一个数列从第2项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列(　　)(2)等差数列{an}的单调性与公差d有关(　　)(3)根据等差数列的通项公式，可以求出数列中的任意一项(　　)(4)若三个数a，b，c满足2b＝a＋c，则a，b，c一定是等差数列(　　)解析：(1)错误．若这些常数都相等，则这个数列是等差数列；若这些常数不全相等，则这个数列就不是等差数列．(2)正确．当d>0时为递增数列；d＝0时为常数列；d<0时为递减数列．(3)正确．只需

4、将项数n代入即可求出数列中的任意一项．(4)正确．若a，b，c满足2b＝a＋c，即b－a＝c－b，故a，b，c为等差数列．答案：(1)×　(2)√　(3)√　(4)√2．已知等差数列{an}中，首项a1＝4，公差d＝－2，则通项公式an等于(　　)A．4－2n　　　　　　　　B．2n－4C．6－2nD．2n－6解析：选C　∵a1＝4，d＝－2，∴an＝4＋(n－1)×(－2)＝6－2n.3．在等差数列{an}中，若a1·a3＝8，a2＝3，则公差d＝(　　)A．1B．－1C．±1D．±2解析：选C　由已知得，解得d＝±1.4．lg(＋)与lg(－)的等差

5、中项是________．解析：lg(＋)与lg(－)的等差中项为：＝＝＝0.答案：0等差数列的通项公式及应用[典例]　在等差数列{an}中，(1)已知a5＝－1，a8＝2，求a1与d；(2)已知a1＋a6＝12，a4＝7，求a9.[解]　(1)∵a5＝－1，a8＝2，∴解得(2)设数列{an}的公差为d.由已知得，解得∴an＝1＋(n－1)×2＝2n－1，∴a9＝2×9－1＝17.在等差数列{an}中，首项a1与公差d是两个最基本的元素，有关等差数列的问题，如果条件与结论间的联系不明显，则均可化成有关a1，d的关系列方程组求解，但是要注意公式的变形及整体

6、计算，以减少计算量．[活学活用]1．2016是等差数列4,6,8，…的(　　)A．第1006项　　　　　　B．第1007项C．第1008项D．第1009项解析：选B　∵此等差数列的公差d＝2，∴an＝4＋(n－1)×2，an＝2n＋2，即2016＝2n＋2，∴n＝1007.2．已知等差数列{an}中，a15＝33，a61＝217，试判断153是不是这个数列的项，如果是，是第几项？解：设首项为a1，公差为d，则an＝a1＋(n－1)d，由已知解得所以an＝－23＋(n－1)×4＝4n－27，令an＝153，即4n－27＝153，解得n＝45∈N＋，所以15

7、3是所给数列的第45项.等差中项的应用[典例]　已知等差数列{an}，满足a2＋a3＋a4＝18，a2a3a4＝66.求数列{an}的通项公式．[解]　在等差数列{an}中，∵a2＋a3＋a4＝18，∴3a3＝18，a3＝6.∴解得或当时，a1＝16，d＝－5.an＝a1＋(n－1)d＝16＋(n－1)·(－5)＝－5n＋21.当时，a1＝－4，d＝5.an＝a1＋(n－1)d＝－4＋(n－1)·5＝5n－9.三数a，b，c成等差数列的条件是b＝(或2b＝a＋c)，可用来进行等差数列的判定或有关等差中项的计算问题．如若证{an}为等差数列，可证2an＋1

8、＝an＋an＋2(n∈N＋)．　　[活学活用]1．已知数列8，a,2，b，c是等