高中数学 2.2 等差数列学案 新人教b版必修5

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1、§2.2　等差数列1．等差数列的判定(1)an－an－1＝d(n≥2，d为常数)⇔{an}是公差为d的等差数列；(2)2an＝an－1＋an＋1(n≥2)⇔{an}是等差数列；(3)an＝kn＋b(k，b为常数)⇔{an}是公差为k的等差数列(n≥1)；(4)Sn＝An2＋Bn(A，B为常数)⇔{an}是公差为2A的等差数列(n≥1)．例如：已知等差数列{an}的前n项和Sn＝(n－1)2＋λ，则λ的值是________．解析　Sn＝(n－1)2＋λ＝n2－2n＋(1＋λ)，∵{an}是等差数列，∴1＋λ＝0，λ＝－1.答案　－12．等差数列

2、的通项公式将an＝a1＋(n－1)d可整理为an＝dn＋(a1－d)，它是关于n的一次函数(d≠0)或常函数(d＝0)，它的图象是一条射线上的一群横坐标为正整数的孤立的点，公差d是该射线所在直线的斜率．例如：等差数列{an}中，若an＝m，am＝n(m≠n)，则am＋n＝______.解析　由点(n，an)，(m，am)，(m＋n，am＋n)三点共线，∴＝.即＝＝－1，易得am＋n＝0.答案　03．等差数列的前n项和公式(1)将公式Sn＝na1＋d变形可得Sn＝n2＋n.故当d≠0时，等差数列前n项和公式是关于n的二次函数，它的图象是抛物线y

3、＝x2＋x上横坐标为正整数的一群孤立点．(2)＝n＋是关于n的一次函数(d≠0)或常函数(d＝0)．当涉及等差数列前n项和Sn的计算问题时，有时设Sn＝An2＋Bn的形式更简便快捷．例如：等差数列{an}中，若Sp＝q，Sq＝p(p≠q)，则Sp＋q＝__________.解析　设Sn＝An2＋Bn，则由(1)－(2)得Ap2＋Bp－Aq2－Bq＝q－p，∴A(p2－q2)＋B(p－q)＝q－p，∵p≠q，∴A(p＋q)＋B＝－1.∵Sp＋q＝A(p＋q)2＋B(p＋q)＝[A(p＋q)＋B]·(p＋q)＝－(p＋q)．答案　－(p＋q)4．

4、等差数列的性质(1)若数列{an}和{bn}均是等差数列，则{man＋kbn}仍为等差数列，其中m、k均为常数．(2)若m，n，p，q∈N*，且m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq.(3)等差数列中依次k项的和成等差数列，即Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…成等差数列，公差为k2d(d是原数列公差)．(4)若{an}与{bn}均为等差数列，且前n项和分别为Sn与S′n，则＝.(5)等差数列{an}中，奇数项的和记作S奇，偶数项的和记作S偶，则Sn＝S奇＋S偶．当n为偶数时：S偶－S奇＝d；当n为奇数时：S奇－S偶＝a中，S奇＝a中，S

5、偶＝a中，＝.(其中a中是等差数列的中间一项)例如：已知等差数列共有10项，其中奇数项之和为15，偶数项之和为30，则其公差是________．解析　S偶－S奇＝d＝5d，∴5d＝30－15＝15，∴d＝3.答案　35．等差数列前n项和的最值求等差数列前n项和的最值的常用方法：(1)通项法当a1>0，d<0时，数列{an}只有前面有限项为非负数，从某项开始所有项均为负数，因此，Sn有最大值，当n满足不等式组时，Sn取到这个最大值；当a1<0，d>0时，数列{an}只有前面有限项为非正数，从某项开始所有项均为正数，因此，Sn有最小值，当n满足不

6、等式组时，Sn取到这一最小值．(2)二次函数法由于Sn＝n2＋n，n∈N*是关于n的二次函数式，故可转化为求二次函数的最值问题，但要注意数列的特殊性n∈N*.例如：{an}是等差数列，a1>0，a2009＋a2010>0，a2009·a2010<0，则使前n项和Sn最大时，n的值是________；使前n项和Sn>0成立时，n的最大值是________．答案　2009　4018一、等差数列的判断方法方法链接：判定等差数列的常用方法：(1)定义法：an＋1－an＝d(常数)(n∈N*)；(2)通项公式法：an＝kn＋b(k，b为常数)(n∈N*

7、)；(3)中项公式法：2an＋1＝an＋an＋2(n∈N*)；(4)前n项和法：Sn＝An2＋Bn(A、B为常数)，n∈N*.例1　数列{an}的前n项和Sn满足：Sn＝，判断{an}是否为等差数列？并证明你的结论．解　{an}是等差数列，证明如下：因为an＝Sn－Sn－1＝－(n≥2)，所以an＋1＝－，所以an＋1－an＝[(n＋1)(a1＋an＋1)－2n(a1＋an)＋(n－1)(a1＋an－1)]＝[(n＋1)an＋1－2nan＋(n－1)an－1](n≥2)，即(n－1)(an＋1－2an＋an－1)＝0，所以an＋1＋an－1＝

8、2an(n≥2)，所以数列{an}为等差数列．二、等差数列中基本量的运算方法链接：在等差数列中，五个重要的量，只要已知三个量，就可求出其他两个量，其中a1和d是两个