高中数学 第二章 数列 2.2.1 等差数列（一）学案 新人教B版必修.doc

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1、2.2.1　等差数列(一)[学习目标]　1.理解等差数列的定义，掌握等差数列的通项公式.2.会推导等差数列的通项公式，能运用等差数列的通项公式解决一些简单的问题.3.掌握等差中项的概念，深化认识并能运用．[知识链接]第一届现代奥运会于1896年在希腊雅典举行，此后每4年举行一次，奥运会如因故不能举行，届数照算．这样举行奥运会的年份数构成一个数列，这个数列有什么特征呢？这个数列叫什么数列呢？[预习导引]1．等差数列的概念如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差．2．等差中

2、项如果三个数x、A、y组成等差数列，那么A叫做x与y的等差中项，且A＝.3．等差数列的通项公式若等差数列的首项为a1，公差为d，则其通项an＝a1＋(n－1)d.4．等差数列的单调性等差数列{an}中，若公差d>0，则数列{an}为递增数列；若公差d<0，则数列{an}为递减数列.要点一等差数列的概念例1　若数列{an}的通项公式为an＝10＋lg2n，试说明数列{an}为等差数列．解　因为an＝10＋lg2n＝10＋nlg2，所以an＋1－an＝[10＋(n＋1)lg2]－(10＋nlg2)＝lg2(n∈N＋)．所以数列{an}为等差数列．规

3、律方法　判断一个数列是不是等差数列，就是判断an＋1－an(n≥1)是不是一个与n无关的常数．跟踪演练1　数列{an}的通项公式an＝2n＋5，则此数列(　　)A．是公差为2的等差数列B．是公差为5的等差数列C．是首项为5的等差数列D．是公差为n的等差数列答案　A解析　∵an＋1－an＝2(n＋1)＋5－(2n＋5)＝2，∴{an}是公差为2的等差数列．要点二　等差中项及其应用例2　(1)在－1与7之间顺次插入三个数a，b，c使这五个数成等差数列，求此数列．(2)已知数列{xn}的首项x1＝3，通项xn＝2np＋nq(n∈N＋，p，q为常数)，

4、且x1、x4、x5成等差数列．求：p，q的值．解　(1)∵－1，a，b，c,7成等差数列，∴b是－1与7的等差中项．∴b＝＝3.又a是－1与3的等差中项，∴a＝＝1.又c是3与7的等差中项，∴c＝＝5.∴该数列为－1,1,3,5,7.(2)由x1＝3，得2p＋q＝3，①又x4＝24p＋4q，x5＝25p＋5q，且x1＋x5＝2x4，得3＋25p＋5q＝25p＋8q，即q＝1，②将②代入①，得p＝1.规律方法　在等差数列{an}中，由定义有an＋1－an＝an－an－1(n≥2，n∈N＋)，即an＝，从而由等差中项的定义知，等差数列从第2项起的每

5、一项都是它前一项与后一项的等差中项．跟踪演练2　若m和2n的等差中项为4,2m和n的等差中项为5，求m和n的等差中项．解　由m和2n的等差中项为4，得m＋2n＝8.又由2m和n的等差中项为5，得2m＋n＝10.两式相加，得m＋n＝6.∴m和n的等差中项为＝3.要点三　等差数列的通项公式及应用例3　(1)若{an}是等差数列，a15＝8，a60＝20，求a75.(2)已知递减等差数列{an}的前三项和为18，前三项的乘积为66.求数列的通项公式，并判断－34是该数列的项吗？解　(1)设{an}的公差为d，首项为a1.由题意知解得所以a75＝a1＋

6、74d＝＋74×＝24.(2)依题意得∴解得或∵数列{an}是递减等差数列，∴d<0.故取a1＝11，d＝－5.∴an＝11＋(n－1)·(－5)＝－5n＋16.即等差数列{an}的通项公式为an＝－5n＋16.令an＝－34，即－5n＋16＝－34，得n＝10.∴－34是数列{an}的第10项．规律方法　在等差数列{an}中，首项a1与公差d是两个最基本的元素，有关等差数列的问题，如果条件与结论间的联系不明显，则均可化成有关a1，d的方程(组)求解，但是要注意公式的变形及整体计算，以减少计算量．跟踪演练3　已知{an}为等差数列，分别根据下列

7、条件写出它的通项公式：(1)a3＝5，a7＝13；(2)前三项为a,2a－1,3－a.解　(1)设首项为a1，公差为d，则解得∴an＝a1＋(n－1)d＝1＋(n－1)×2＝2n－1.(2)由等差中项公式得2×(2a－1)＝a＋(3－a)，a＝，∴首项为a＝，公差为2a－1－a＝a－1＝－1＝，∴an＝＋(n－1)×＝＋1.1．已知等差数列{an}的通项公式an＝3－2n，则它的公差d为(　　)A．2B．3C．－2D．－3答案　C解析　由等差数列的定义，得d＝an＋1－an＝3－2(n＋1)－(3－2n)＝－2.2．在△ABC中，三内角A、B、

8、C成等差数列，则角B等于(　　)A．30°B．60°C．90°D．120°答案　B解析　因为A、B、C成等差数列，所以B是A，C的等差中项，则有A＋C