高中数学 第二章 平面向量 2.2.2 向量减法运算及其几何意义学案（含解析）新人教A版必修.doc

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1、2.2.2　向量减法运算及其几何意义相反向量　　[提出问题]问题1：一个数a的相反数是什么？提示：－a.问题2：一个向量有相反向量吗？提示：有，向量a的相反向量是－a.[导入新知]相反向量与a长度相等、方向相反的向量，叫做a的相反向量，记作－a.(1)规定：零向量的相反向量仍是零向量；(2)－(－a)＝a；(3)a＋(－a)＝(－a)＋a＝0；(4)若a与b互为相反向量，则a＝－b，b＝－a，a＋b＝0.[化解疑难]对相反向量的理解(1)两个非零向量a与b互为相反向量应具备两个条件：①长度相等；②方向相反．二者缺一不可．(2)与互为相反向量

2、，且＋＝0.向量的减法[提出问题]问题1：两个相反数的和为零，那么两个相反向量的和也为零吗？提示：不是，是零向量．问题2：根据向量加法，如何求作a－b?提示：①先作出－b；②再按三角形法则或平行四边形法则进行．[导入新知]向量的减法(1)定义：a－b＝a＋(－b)，即减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量．(2)几何意义：以O为起点，作向量＝a，＝b，则＝a－b，如图所示，即a－b可表示从向量b的终点指向向量a的终点的向量．[化解疑难]透析差向量的作法(1)表示a－b.强调：差向量“箭头”指向被减向量．(2)可以用向量减法的三角形法则作差

3、向量，也可以用向量减法的定义a－b＝a＋(－b)(即平行四边形法则)作差向量，显然，后一种方法作图较烦琐．作非零向量a，b的差向量a－b，可以简记为“共起点，连终点，指向被减”．向量的减法运算[例1]　化简：(1)(－)－(－)；(2)(＋＋)－(－－)．[解]　(1)(－)－(－)＝(＋)－(＋)＝－＝0.(2)(＋＋)－(－－)＝(＋)－(－)＝－＝0.[类题通法]1．向量减法运算的常用方法2．向量加减法化简的两种形式(1)首尾相连且为和；(2)起点相同且为差．做题时要注意观察是否有这两种形式，同时要注意逆向应用．[活学活用]化简下列各

4、式：(1)－－；(2)＋－；(3)－－.答案：(1)　(2)　(3)向量的减法及其几何意义[例2]　(1)如图，在平行四边形ABCD中，下列结论中错误的是(　　)A．－＝B．＋＝C．＝D．＋＝0(2)如图，已知向量a，b，c不共线，求作向量a＋b－c.[解]　(1)A(2)如图所示，在平面内任取一点O，作＝a，＝b，则＝a＋b，再作＝c，则＝a＋b－c.[类题通法]求作两个向量的差向量的两种思路(1)可以转化为向量的加法来进行，如a－b，可以先作－b，然后作a＋(－b)即可．(2)可以直接用向量减法的三角形法则，即把两向量的起点重合，则差向

5、量为连接两个向量的终点，指向被减向量的终点的向量．[活学活用]在本例(2)的条件下作出向量：(1)a－b＋c；(2)a－b－c.答案：如图所示．利用已知向量表示未知向量[例3]　如图，解答下列各题：(1)用a，d，e表示；(2)用b，c表示；(3)用a，b，e表示；(4)用d，c表示.[解]　由题意知，＝a，＝b，＝c，＝d，＝e，则(1)＝＋＋＝d＋e＋a.(2)＝－＝－－＝－b－c.(3)＝＋＋＝a＋b＋e.(4)＝－＝－(＋)＝－c－d.[类题通法]用已知向量表示某向量的基本步骤第一步：观察各向量的位置；第二步：寻找(或作)相应的平行

6、四边形或三角形；第三步：运用法则找关系；第四步：化简结果．[活学活用]如图，已知＝a，＝b，＝c，＝d，＝f，试用a，b，c，d，f表示以下向量：(1)；(2)；(3)－；(4)＋；(5)－.答案：(1)c－a　(2)d－a　(3)d－b　(4)b－a＋f－c　(5)f－d　　　　[典例]　设点M是线段BC的中点，点A在线段BC外，

7、

8、2＝16，

9、＋

10、＝

11、－

12、，则

13、

14、＝(　　)A．8　　　　　　　　　　B．4C．2D．1[解析]　以，为邻边作平行四边形ACDB，则由向量加、减法的几何意义可知＝＋，＝－，因为

15、＋

16、＝

17、－

18、，所以

19、

20、＝

21、

22、.又

23、四边形ACDB为平行四边形，所以四边形ACDB为矩形，故AC⊥AB.则AM为Rt△ABC斜边BC上的中线，因此，

24、

25、＝

26、

27、＝2.[答案]　C[多维探究]1．平行四边形中有关向量的以下结论，在解题中可以直接使用：(1)对角线平方和等于四边的平方和，即

28、a＋b

29、2＋b

30、2＝2(

31、a

32、2＋

33、b

34、2)；(2)若

35、a＋b

36、＝

37、a－b

38、，则以a，b为邻边的平行四边形为矩形．2．高考对向量加法、减法的考查，重在考查对加法法则、减法法则的理解，要特别注意首尾顺次相接的若干向量的和为0.一般将向量放在具体的几何图形中，常见的有三角形、四边形(平行四边形、矩形

39、、菱形)、正六边形等．[活学活用]1．如图，在正六边形ABCDEF中，＋＋＝(　　)A．0　　　　　　　　B．C．D．答案：D2．如图，D，E，F分别是△ABC的边AB，BC，C