高中数学 第二章 平面向量 2.1.2 向量的加法学案 新人教B版必修.doc

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1、2.1.2　向量的加法[学习目标]　1.理解并掌握加法的概念，了解向量加法的物理意义及其几何意义.2.掌握向量加法的三角形法则和平行四边形法则，并能熟练地运用这两个法则作两个向量的加法运算.3.了解向量加法的交换律和结合律，并能依几何意义作图解释加法运算律的合理性．[知识链接]1．两个向量相加就是两个向量的模相加吗？答　不是．两个向量的和仍是一个向量，所以两个向量相加要注意两个方面，即和向量的方向和模．2．向量加法的平行四边形法则和三角形法则有何区别与联系？答　向量加法的平行四边形法则和三角形法则的区别和联系．区别：①三角形法则

2、中强调“首尾相连”，平行四边形法则中强调的是“共起点”；②三角形法则适用于所有的两个非零向量求和，而平行四边形仅适用于不共线的两个向量求和．联系：当两个向量不共线时，向量加法的三角形法则和平行四边形法则是统一的．[预习导引]1．向量的加法法则(1)三角形法则如图所示，已知非零向量a，b，在平面内任取一点A，作＝a，＝b，则向量叫做a与b的和(或和向量)，记作a＋b，即a＋b＝＋＝.上述求两个向量和的作图法则，叫做向量求和的三角形法则．对于零向量与任一向量a的和有a＋0＝0＋a＝a.(2)平行四边形法则如图所示，已知两个不共线向量

3、a，b，作＝a，＝b，则O、A、B三点不共线，以OA，OB为邻边作平行四边形，则对角线上的向量＝a＋b，这个法则叫做两个向量求和的平行四边形法则．2．向量加法的运算律(1)交换律：a＋b＝b＋a.(2)结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c).要点一　向量的加法运算例1　化简或计算：(1)＋＋＝________.(2)＋＋＋＋＝________.(3)▱ABCD中(如图)，对角线AC、BD交于点O.则①＋＝________；②＋＋＝________；③＋＋＝________；④＋＋＝________.答案　(1)　(2)0　(3)

4、①　②　③　④0解析　(1)＋＋＝(＋)＋＝＋＝.(2)＋＋＋＋＝(＋)＋(＋)＋＝＋＋＝＋＝0.(3)①＋＝，②＋＋＝＋＝，③＋＋＝＋＝，④＋＋＝＋＝0.规律方法　(1)解决该类题目要灵活应用向量加法运算，注意各向量的起、终点及向量起、终点字母排列顺序，特别注意勿将0写成0.(2)运用向量加法求和时，在图中表示“首尾相接”时，其和向量是从第一个向量的起点指向最后一个向量的终点．跟踪演练1　如图，E、F、G、H分别是梯形ABCD的边AB、BC、CD、DA的中点，化简下列各式：(1)＋＋；(2)＋＋＋.解　(1)＋＋＝＋＋＝＋＋＝

5、＋＝；(2)＋＋＋＝＋＋＋＝＋＋＝＋＝0.要点二　利用向量证明几何问题例2　在▱ABCD的对角线BD的延长线及反向延长线上，取点F、E，使BE＝DF(如图)．用向量的方法证明：四边形AECF也是平行四边形．证明　∵＝＋，＝＋.又∵＝，＝，∴＝，即AE、FC平行且相等，∴四边形AECF是平行四边形．规律方法　用向量证明几何问题的一般步骤：(1)要把几何问题中的边转化成相应的向量；(2)通过向量的运算及其几何意义得到向量间的关系．跟踪演练2　下列命题①如果a，b的方向相同或相反，那么a＋b的方向必与a，b之一的方向相同；②△ABC中

6、，必有＋＋＝0；③若＋＋＝0，则A、B、C为一个三角形的三个顶点；④若a，b均为非零向量，则

7、a＋b

8、与

9、a

10、＋

11、b

12、一定相等．其中真命题的个数为(　　)A．0B．1C．2D．3答案　B解析　①如果a，b的方向相同则a＋b的方向必与a，b相同．如果a，b的方向相反，若

13、a

14、>

15、b

16、，则a＋b的方向与a相同，若

17、a

18、<

19、b

20、，则a＋b的方向与b相同，若

21、a

22、＝

23、b

24、，则a＋b＝0，它的方向任意，①错误．②正确．③若＋＋＝0，则A，B，C三点可能共线，③错误．④错误．要点三　向量加法的实际应用例3　如图所示，在抗震救灾中，一架飞机从

25、A地按北偏东35°的方向飞行800km到达B地接到受伤人员，然后又从B地按南偏东55°的方向飞行800km送往C地医院，求这架飞机飞行的路程及两次位移的和．解　设，分别表示飞机从A地按北偏东35°的方向飞行800km，从B地按南偏东55°的方向飞行800km，则飞机飞行的路程指的是

26、

27、＋

28、

29、；两次飞行的位移的和指的是＋＝.依题意，有

30、

31、＋

32、

33、＝800＋800＝1600(km)，又α＝35°，β＝55°，∠ABC＝35°＋55°＝90°，所以

34、

35、＝＝＝800(km)．其中∠BAC＝45°，所以方向为北偏东35°＋45°＝80°.从

36、而飞机飞行的路程是1600km，两次飞行的位移和的大小为800km，方向为北偏东80°.规律方法　解决与向量有关的实际应用题，应本着如下步骤：弄清实际问题→转化为数学问题→正确画出示意图→用向量表示实际量→向量运算→回扣实际问题—作出解答．跟踪演练3　已知小船在