高中数学 第二章 函数 2.1 函数 2.1.1.1 变量与函数的概念学案 新人教B版必修.doc

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1、2.1.1.1变量与函数的概念预习导航课程目标学习脉络1.理解函数的概念，了解构成函数的要素．2．会求一些简单函数的定义域和值域．3．掌握用换元法和代入法求函数解析式这一常用方法．4．能正确地使用区间表示数集.一、函数的相关概念1．函数的定义初中在一个变化过程中，有两个变量x和y，如果给定了一个x值，相应地就确定唯一的一个y值，那么我们称y是x的函数，其中x是自变量，y是因变量现在设集合A是一个非空的数集，对A中的任意数x，按照确定的法则f，都有唯一确定的数y与它对应，则这种对应关系叫做集合A上的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A，函数y＝f(x)也经常写作函数f或函数f(x)2．相关名称(1

2、)函数的定义域在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，自变量取值的范围(数集A)叫做这个函数的定义域．(2)函数的值域如果自变量取值a，则由法则f确定的值y称为函数在a处的函数值，记作f(a)或y

3、x＝a.所有函数值构成的集合{y

4、y＝f(x)，x∈A}叫做这个函数的值域．思考1函数符号“y＝f(x)，x∈A”中的“f”及f(x)与f(a)有何区别与联系？提示：(1)符号“y＝f(x)”中的“f”表示对应法则，在不同的具体函数中，“f”的含义不一样，可以把函数的对应法则“f”形象地看作一个“暗箱”．例如，y＝f(x)＝x2，可以将其看作输入x，输出x2，于是“暗箱”相当于一个“平方机”的作

5、用，则显然应该有f(a)＝a2，f(m＋1)＝(m＋1)2，f(x＋1)＝(x＋1)2.(2)符号y＝f(x)是“y是x的函数”的符号表示，应理解为：x是自变量，它是法则所施加的对象；f是对应法则，它可以是一个或几个解析式，可以是图象、表格，也可以是文字描述；y是自变量的函数，当x允许取某一个具体值时，相应的y值为与该自变量值对应的函数值．y＝f(x)仅仅是函数符号，不是表示“y等于f与x的乘积”．在研究函数时，除用符号f(x)外，还常用g(x)，F(x)，G(x)等来表示函数．(3)f(x)与f(a)的区别与联系：f(a)表示当x＝a时函数f(x)的值，是一个常量，而f(x)是自变量x的函数

6、，一般情况下，它是一个变量，f(a)是f(x)的一个特殊值．如，一次函数f(x)＝3x＋4，当x＝8时，f(8)＝3×8＋4＝28，是一个常数．思考2同一函数的判断标准是什么？提示：一般地，判断几个函数是否相同，离不开函数的三要素，但值域由定义域和对应法则所确定，因此在实际的解题过程中，往往只要判断函数的定义域、对应法则两个方面即可．两个函数当且仅当定义域与对应法则分别相同时，才是同一个函数．因此判断时应注意以下四点：(1)定义域不同，两个函数也就不同．如，y＝x2(x∈R)与y＝x2(x＞0)不是同一个函数；(2)对应法则不同，两个函数也是不同的．如，y＝x与y＝x2不是同一个函数；(3)即

7、使是定义域和值域都分别相同的两个函数，它们也不一定是同一个函数，因为函数的定义域和值域不能唯一地确定函数的对应法则．如，函数f(x)＝x2与f(x)＝2x2虽定义域和值域均相同，但它们不是同一个函数；(4)因为函数是两个数集之间的对应关系，所以用什么字母表示自变量、因变量和对应法则是无关紧要的．如，f(x)＝2015x＋2014，f(t)＝2015t＋2014，g(x)＝2015x＋2014都表示同一个函数．二、区间的概念特别提醒(1)区间表示了一个数集，主要用来表示函数的定义域、值域、不等式的解集等．(2)若[a，b]是一个确定的区间，则隐含条件为a＜b.(3)在数轴上表示区间时，属于这个区

8、间端点的实数，用实心点表示，不属于这个区间端点的实数，用空心圆圈表示．(4)区间符号里面的两个字母(或数字)之间用“，”隔开．(5)用＋∞，－∞表示区间的端点时不能写成闭区间的形式．思考3区间与数集有何关系？提示：(1)联系：区间实际上是一类特殊的数集(连续的)的符号表示，是集合的另一种表达形式；(2)区别：不连续的数集不能用区间表示，如整数集、自然数集等；(3)区间与区间之间可以用集合的运算符号连接起来，表示两个集合之间的运算．