高中数学 第三章 空间向量与立体几何 3.1.1 空间向量及其加减运学案（含解析）新人教A版选修.doc

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1、3．1.1　空间向量及其加减运算[提出问题]李老师下班回家，先从学校大门口骑自行车向北行驶1000m，再向东行驶1500m，最后乘电梯上升15m到5楼的住处．在这个过程中，李老师从学校大门口回到住处所发生的总位移就是三个位移的合成(如图所示)．问题1：以上三个位移是同一个平面内的向量吗？提示：不是．问题2：如何刻画李老师行驶的位移？提示：借助于空间向量的运算．[导入新知]1．空间向量的有关概念(1)定义：在空间，把具有大小和方向的量叫做空间向量．(2)长度：向量的大小叫做向量的长度或模．2．几类特殊向量特殊向量定义表示法零向量长度为0的向量0单位

2、向量模为1的向量

3、a

4、＝1或

5、

6、＝1相反向量与a长度相等而方向相反的向量称为a的相反向量－a相等向量方向相同且模相等的向量a＝b或＝3.空间向量的加法和减法运算空间向量的运算加法＝＋＝a＋b减法＝－＝a－b加法运算律(1)交换律：a＋b＝b＋a；(2)结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)[化解疑难]1．零向量的方向是任意的，同平面向量中的规定一样，0与任何空间向量平行．2．单位向量不一定相等，但单位向量的模一定相等且为1.3．方向相同且模相等的向量称为相等向量，因此，在空间，同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量．4．空间任意两个向量都可以

7、平移到同一平面内，成为同一平面内的两个向量空间向量的概念辨析[例1]　下列说法中正确的是(　　)A．若

8、a

9、＝

10、b

11、，则a，b的长度相同，方向相同或相反B．若向量a是向量b的相反向量，则

12、a

13、＝

14、b

15、C．空间向量的减法满足结合律D．在四边形ABCD中，一定有＋＝[解]　

16、a

17、＝

18、b

19、，说明a与b模相等，但方向不确定；对于a的相反向量b＝－a，故

20、a

21、＝

22、b

23、，从而B正确；只定义加法具有结合律，减法不具有结合律；一般的四边形不具有＋＝，只有在平行四边形中才能成立．故选B.答案：B[类题通法](1)两个向量的模相等，则它们的长度相等，但方向不确定，即

24、两个向量(非零向量)的模相等是两个向量相等的必要不充分条件；(2)熟练掌握空间向量的有关概念、向量的加减法的运算法则及向量加法的运算律是解决好这类问题的关键．[活学活用]给出下列命题：①零向量没有确定的方向；②在正方体ABCDA1B1C1D1中，＝；③若向量a与向量b的模相等，则a，b的方向相同或相反．其中正确命题的序号是________．解析：①正确；②正确，因为与的大小和方向均相同；③不正确，因为

25、a

26、＝

27、b

28、，不能确定其方向，所以a与b的方向不能确定．综上可知，正确命题为①②.答案：①②空间向量的加减运算[例2]　已知在正方体ABCDA1B

29、1C1D1中，化简下列向量表达式，并在图中标出化简结果的向量．(1)＋－；(2)－－.[解]　(1)＋－＝＋＋＝＋＝(如图)．(2)－－＝＋(＋)＝＋(＋)＝＋＝(如图)．[类题通法]在进行减法运算时，可将减去一个向量转化为加上这个向量的相反向量，而在进行加法运算时，首先考虑这两个向量在哪个平面内，然后与平面向量求和一样，运用向量运算的平行四边形法则、三角形法则及多边形法则来求即可．[活学活用]化简：(－)－(－)．解：法一：(统一成加法)原式＝－－＋＝＋＋＋＝＋＋＋＝0.法二：(利用－＝)原式＝－－＋＝(－)－＋＝－＋＝＋＝0.法三：(利用＝－

30、)设O是空间内任意一点，则原式＝[(－)－(－)]－[(－)－(－)]＝－－＋－＋＋－＝0.　　　　[典例]　在正方体ABCDA1B1C1D1中，化简－＋－＋－.[解]　如图，－＋－＋－＝(－)＋(－)＋(－)＝＋＋＝＋＝.[易错防范]1．在应用三角形法则求－时易出错，误写成，其原因是对三角形法则理解记忆不准，导致结果计算错误．2．化简空间向量式的常用思路(1)统一成加法后利用空间多边形法则化简；(2)利用向量的减法法则，即利用－＝化简；(3)利用＝－，把各个向量转化成与空间的某一点有关的向量化简．[成功破障]化简：－＋－－＝________.解

31、析：原式＝(－)＋(－)－＝＋－＝－＝.答案：[随堂即时演练]1．在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，由顶点连接的向量中，与向量相等的向量共有(　　)A．1个　　　　　　　B．2个C．3个D．4个解析：选C　与向量相等的向量有，，，共3个．2．已知向量，，满足

32、

33、＝

34、

35、＋

36、

37、，则(　　)A．＝＋B．＝－－C．与同向D．与同向解析：选D　由条件可知，点C在线段AB上，故选项D正确．3．式子(－)＋运算的结果是________．解析：(－)＋＝(＋)＋＝＋＝.答案：4．下列命题中正确的是________(填序号)．①如果a，b是两个单位向量，则

38、

39、a

40、＝

41、b

42、；②两个空间向量共线，则这两个向量方向相同；③若a，b，c为非零向量，且a∥b，b∥c，则a∥c；④空间任意两个非零向量都可