高中数学 第三章 导数及其应用 3.4 生活中的优化问题举例学案（含解析）新人教A版选修.doc

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1、3.4生活中的优化问题举例[提出问题]某厂家计划用一种材料生产一种盛500mL溶液的圆柱形易拉罐．问题1：生产这种易拉罐，如何计算材料用的多少呢？提示：计算出圆柱的表面积即可．问题2：如何制作使用材料才能最省？提示：要使用料最省，只需圆柱的表面积最小．可设圆柱的底面半径为x，列出圆柱表面积S＝2πx2＋(x＞0)，求S最小时，圆柱的半径、高即可．[导入新知]1．优化问题生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题．2．用导数解决优化问题的基本思路[化解疑难]1．在求实际问题的最大(小)

2、值时，一定要考虑实际问题的意义，不符合实际意义的值应舍去．2．在解决实际优化问题时，不仅要注意将问题中涉及的变量关系用函数关系表示，还应确定出函数关系式中自变量的取值范围．面积、容积最值问题　[例1]　某市在市内主干道北京路一侧修建圆形休闲广场．如图，圆形广场的圆心为O，半径为100m，并与北京路一边所在直线l相切于点M.点A为上半圆弧上一点，过点A作l的垂线，垂足为点B.市园林局计划在△ABM内进行绿化．设△ABM的面积为S(单位：m2)，∠AON＝θ(单位：弧度)．(1)将S表示为θ的函数；(2)当绿化面积S最大

3、时，试确定点A的位置，并求最大面积．[解]　(1)BM＝AOsinθ＝100sinθ，AB＝MO＋AOcosθ＝100＋100cosθ，θ∈(0，π)．则S＝MB·AB＝×100sinθ×(100＋100cosθ)＝5000(sinθ＋sinθcosθ)，θ∈(0，π)．(2)S′＝5000(2cos2θ＋cosθ－1)＝5000(2cosθ－1)(cosθ＋1)．令S′＝0，得cosθ＝或cosθ＝－1(舍去)，此时θ＝.当θ变化时，S′，S的变化情况如下表：θS′＋0－S极大值所以，当θ＝时，S取得最大值Sm

4、ax＝3750m2，此时AB＝150m，即点A到北京路一边l的距离为150m.[类题通法]解决面积、容积的最值问题，要正确引入变量，将面积或容积表示为变量的函数，结合实际问题的定义域，利用导数求解函数的最值．[活学活用]用长为90cm、宽为48cm的长方形铁皮做一个无盖的容器，先在四个角分别截去一个小正方形，然后把四边翻转90°角，再焊接而成(如图所示)．问：该容器的高为多少时，容器的容积最大？最大容积是多少？解：设容器的高为xcm，容器的容积为V(x)cm3，则V(x)＝x(90－2x)(48－2x)＝4x3－27

5、6x2＋4320x(00，V(x)是增函数；当10

6、最省(成本最低)问题[例2]　某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两个桥墩相距m米，余下工程只需建两端桥墩之间的桥面和桥墩．经测算，一个桥墩的工程费用为256万元，距离为x米的相邻两桥墩之间的桥面工程费用为(2＋)x万元．假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其他因素，记余下工程的费用为y万元．(1)试写出y关于x的函数关系式；(2)当m＝640时，需新建多少个桥墩才能使y最小？[解]　(1)设需新建n个桥墩，则(n＋1)x＝m，即n＝－1，所以，y＝f(x)＝256n＋(n＋1)(2＋)x＝256＋(2＋)x

7、＝m＋m＋2m－256.(2)由(1)知，f′(x)＝－＋mx＝(x－512)．令f′(x)＝0，得x＝512，所以x＝64.当00，f(x)在区间(64,640)内为增函数．所以f(x)在x＝64处取得最小值，此时n＝－1＝－1＝9.故需新建9个桥墩才能使y最小．[类题通法]解决实际生活中用料最省、费用最低、损耗最小、最节省时间等问题，需要求相应函数的最小值，此时根据f′(x)＝0求出极值点(注意根据实际意义舍去不

8、合适的极值点)后，判断函数在该点附近满足左减右增，则此时的极小值就是所求函数的最小值．[活学活用]甲、乙两地相距400千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过100千米/时，已知该汽车每小时的运输成本P(单位：元)关于速度v(单位：千米/时)的函数关系是P＝v4－v3＋15v，(1)求全程运输成本Q(元)关于速度v的函数关系式．(2)为使全