高中数学第三章导数及其应用3.4生活中的优化问题举例练习（含解析）新人教A版

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1、第三章3.4A级　基础巩固一、选择题1．汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程s看作时间t的函数，其图象可能是(　A　)[解析]　加速过程，路程对时间的导数逐渐变大，图象下凸；减速过程，路程对时间的导数逐渐变小，图象上凸，故选A．2．(2016·广东东莞高二检测)若商品的年利润y(万元)与年产x(百万件)的函数关系式y＝－x3＋27x＋123(x>0)，则获得最大利润时的年产量为(　C　)A．1百万件　　　　B．2百万件C．3百万件D．4百万件[解析]　依题意得，y′＝－3

2、x2＋27＝－3(x－3)(x＋3)，当00；当x>3时，y′<0.因此，当x＝3时，该商品的年利润最大．3．某箱子的容积与底面边长x的关系为V(x)＝x2·()(0

3、5元，箱壁每1m2的造价为12元，则箱子的最低总造价为(　D　)A．900元B．840元C．818元D．816元[解析]　设箱底一边的长度为xm，箱子的总造价为l元，根据题意得箱底面积为＝16(m2)，箱底另一边的长度为m，则l＝16×15＋(2×3x＋2×3×)×12＝240＋72，l′＝72.令l′＝0，解得x＝4或x＝－4(舍去)．当04时，l′>0.故当x＝4时，l有最小值816.因此，当箱底是边长为4m的正方形时，箱子的总造价最低，最低总造价是816元．5．某产品的销售收入y1

4、(万元)是产量x(千台)的函数：y1＝17x2(x>0)；生产成本y2(万元)是产量x(千台)的函数：y2＝2x3－x2(x>0)，为使利润最大，则应生产(　A　)A．6千台B．7千台C．8千台D．9千台[解析]　设利润为y(万元)，则y＝y1－y2＝17x2－2x3＋x2＝18x2－2x3(x>0)，y′＝36x－6x2，令y′>0，得06，∴当x＝6时，y取最大值，故为使利润最大，则应生产6千台．6．设底面为等边三角形的直棱柱的体积为V，则其表面积最小时，底面边长为(　C　)A．B．

5、C．D．2[解析]　如图，设底面边长为x(x>0)，则底面积S＝x2，∴h＝＝.S表＝x·×3＋x2×2＝＋x2，S′表＝x－，令S′表＝0得x＝，因为S表只有一个极值，故x＝为最小值点．二、填空题7．(2016·山东淄博月考)某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x吨，运费为4万元/次，一年的总存储费为4x万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x＝__20__吨.[解析]　设该公司一年内总共购买n次货物，则n＝，∴总运费与总存储费之和f(x)＝4n＋4x＝＋4x，令f′(x)＝4－＝0，解得x＝20，

6、x＝－20(舍)，x＝20是函数f(x)的最小值点，故x＝20时，f(x)最小．8．做一个无盖的圆柱形水桶，若要使其体积是27π，且用料最小，则圆柱的底面半径为__3__.[解析]　设圆柱的底面半径为R，母线长为L，则V＝πR2L＝27π，∴L＝，要使用料最省，只需使圆柱形表面积最小，∴S表＝πR2＋2πRL＝πR2＋，∴S′(R)＝2πR－＝0，令S′＝0得R＝3，∴当R＝3时，S表最小．三、解答题9．用边长为120cm的正方形铁皮做一个无盖水箱，先在四角分别截去一个小正方形，然后把四边翻转90°角，再焊接成水箱

7、．问：水箱底边的长取多少时，水箱容积最大？最大容积是多少？[解析]　设水箱底边长为xcm，则水箱高为h＝60－(cm)．水箱容积V＝V(x)＝60x2－(0

8、．答：水箱底边长取80cm时，容积最大，最大容积为128000cm3.B级　素养提升一、选择题1．某公司生产一种产品，固定成本为20000元，每生产一单位的产品，成本增加100元，若总收入R与年产量x(0≤x≤390)的关系是R(x)＝－＋400x,0≤x≤390，则当总利润最大时，每年生产的产品单位数是(　D　)A．150B．200C．250D．300[解