高中数学 第三章 导数及其应用 3.1.3 导数的几何意义学案（含解析）新人教A版选修.doc

《高中数学 第三章 导数及其应用 3.1.3 导数的几何意义学案（含解析）新人教A版选修.doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、3．1.3　导数的几何意义导数的几何意义[提出问题]如图，Pn的坐标为(xn，f(xn))(n＝1,2,3，4，…)，P的坐标为(x0，y0)，直线PT为在点P处的切线．问题1：割线PPn的斜率kn是什么？提示：割线PPn的斜率kn＝＝.问题2：当点Pn趋近于点P时，割线PPn与在点P处的切线PT有什么关系？提示：当点Pn趋近于点P时，割线PPn趋近于在点P处的切线PT.问题3：当Pn无限趋近于点P时，kn与切线PT的斜率k有什么关系？提示：kn无限趋近于切线PT的斜率k.问题4：如何求得过点P的切线PT的斜率？提示：函数f(x)在x＝x0处的导数就是切

2、线PT的斜率k，即k＝＝f′(x0)．[导入新知]导数的几何意义函数f(x)在x＝x0处的导数就是切线PT的斜率k，即k＝f′(x0)＝.[化解疑难]曲线y＝f(x)在点P处的切线的斜率，即函数y＝f(x)在点P处的导数，反映了曲线在点P处的变化率.导函数[提出问题]已知函数f(x)＝－x2＋2.问题1：如何求f′(x0)?提示：f′(x0)＝＝(－2x0－Δx)＝－2x0.问题2：若x0是一变量x，f′(x)是常量吗？提示：f′(x)＝－2x，说明f′(x)不是常量，而是关于x的函数．[导入新知]导函数的定义对于函数y＝f(x)，当x＝x0时，f′(x

3、0)是一个确定的数，当x变化时，f′(x)便是一个关于x的函数，我们称它为函数y＝f(x)的导函数(简称为导数)，即f′(x)＝y′＝.[化解疑难]函数y＝f(x)“在点x0处的导数”“导函数”“导数”之间的区别与联系(1)函数在点x0处的导数，就是在该点的函数改变量与自变量改变量的比的极限，它是一个数值，不是变数．(2)导函数也简称导数，所以f(x)在一点x0处的导数(特殊)导函数(一般)(3)函数y＝f(x)在点x0处的导数f′(x0)就是导函数f′(x)在点x＝x0处的函数值．曲线的切线方程[例1]　若函数f(x)＝x－，求它与x轴交点处的切线方程

4、．[解]　由f(x)＝x－＝0，得x＝±1，即与x轴的交点坐标为(1,0)，(－1,0)．∵f′(x)＝＝＝1＋，∴切线的斜率k＝1＋＝2.∴切线的方程为y＝2(x－1)或y＝2(x＋1)，即2x－y－2＝0或2x－y＋2＝0.[类题通法]求曲线在点P(x0，y0)处的切线方程的步骤(1)求出函数y＝f(x)在x0处的导数f′(x0)，得到切线的斜率k＝f′(x0)．(2)根据直线的点斜式方程，得到切线方程y－y0＝f′(x0)(x－x0)．[活学活用]已知曲线y＝3x2，求过点A(1,3)的曲线的切线方程．解:∵＝＝6＋3Δx，∴y′

5、x＝1＝(6＋3

6、Δx)＝6.∴曲线在点A(1,3)处的切线斜率为6.∴所求的切线方程为y－3＝6(x－1)，即6x－y－3＝0.求切点坐标[例2]　已知抛物线y＝2x2＋1，问：(1)抛物线上哪一点的切线的倾斜角为45°？(2)抛物线上哪一点的切线平行于直线4x－y－2＝0?(3)抛物线上哪一点的切线垂直于直线x＋8y－3＝0?[解]　设点的坐标为(x0，y0)，则Δy＝2(x0＋Δx)2＋1－2x－1＝4x0Δx＋2(Δx)2.∴＝4x0＋2Δx.当Δx无限趋近于零时，无限趋近于4x0，即f′(x0)＝4x0.(1)∵抛物线的切线的倾斜角为45°，∴斜率为tan45°

7、＝1，即f′(x0)＝4x0＝1，得x0＝，该点为.(2)∵抛物线的切线平行于直线4x－y－2＝0，∴斜率为4，即f′(x0)＝4x0＝4，得x0＝1，该点为(1,3)．(3)∵抛物线的切线与直线x＋8y－3＝0垂直，∴斜率为8，即f′(x0)＝4x0＝8，得x0＝2，该点为(2,9)．[类题通法]求曲线切点坐标的五个步骤(1)先设切点坐标(x0，y0)；(2)求导数f′(x)；(3)求切线的斜率f′(x0)；(4)由斜率间的关系列出关于x0的方程，求出x0；(5)由于点(x0，y0)在曲线f(x)上，将(x0，y0)代入求得y0的值，得切点坐标(x0，

8、y0)．[活学活用]已知曲线y＝2x2＋a在点P处的切线方程为8x－y－15＝0，求切点P的坐标和实数a的值．解：设切点P的坐标为(x0，y0)，切线斜率为k.由y′＝＝＝(4x＋2Δx)＝4x，得k＝y′

9、x＝x0＝4x0.根据题意得4x0＝8，x0＝2，分别代入y＝2x2＋a和y＝8x－15，得y0＝8＋a＝1，得故所求切点为P(2,1)，a＝－7.导数几何意义的综合应用[例3]　设函数f(x)＝x3＋ax2－9x－1(a<0)，若曲线y＝f(x)的斜率最小的切线与直线12x＋y＝6平行，求a的值．[解]　∵Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)＝(x0

10、＋Δx)3＋a(x0＋Δx)2－9(x0＋Δx)－1－(x＋ax－9x0－1)＝