高中数学 第三章 基本初等函数(Ⅰ)3.1 指数与指数函数 3.1.2 指数函数课堂导学案 新人教B版必修.doc

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1、3.1.2指数函数课堂导学三点剖析一、指数函数的定义域、值域的求法【例1】求下列函数的定义域与值域:(1)y=2;(2)y=()-

2、x

3、;(3)y=4x+2x+1+1.解析：(1)∵x-4≠0,∴x≠4.∴定义域是{x∈R

4、x≠4}.∵≠0,∴2≠1.∴函数的值域是{y

5、y>0且y≠1}.(2)定义域为R.∵

6、x

7、≥0,∴y=()

8、x

9、=()

10、x

11、≥()0=1.∴y=()

12、x

13、的值域是{y

14、y≥1}.(3)定义域是R.∵y=4x+2x+1+1=(2x)2+2·2x+1=(2x+1)2,且2x>0,

15、∴y>1.∴y=4x+2x+1+1的值域是{y

16、y>1}.温馨提示(1)由于指数函数y=ax(a>0且a≠1)的定义域是R,所以函数y=af(x)(a>0且a≠1)与函数f(x)的定义域相同.(2)求与指数函数有关的函数的值域时,要注意到充分考虑并利用指数函数本身的要求,并利用好指数函数的单调性.二、比较两个数的大小问题【例2】比较下列各题中两个值的大小.(1)()0.8与()1.8;(2)()与();(3)1.70.3与0.93.1.思路分析：同底数的幂比较大小,要用指数函数的单调性;对于底数和

17、指数都不同的两个幂比较大小,要找到一个中间量搭桥,判断它们的大小.解:(1)因为()0.8=()1.6,且函数y=()x在R上是减函数,所以()1.6>()1.8,即()0.8>()1.8.(2)因为()=(),且函数y=()x在R上是减函数,所以()<(),即()<().(3)由指数函数的性质,得1.70.3>1.70=1,又0.93.1<0.90=1,所以1.70.3>0.93.1.温馨提示两个幂值比较大小,要灵活运用指数函数的单调性.同底数而指数不同的,直接用单调性比较大小;对于底数和指数都

18、不同的幂值比较大小,需找准“中间量”通过它的联系,而确定这两个值的大小.这个“中间量”常选取0、±1等.三、复合函数的单调性【例3】求函数y=()的单调区间.思路分析：函数y=()可认为由y=()u,u=x2-6x+17“复合”而成,求单调区间要综合考虑u=x2-6x+17与y=()u的性质.解:函数u=x2-6x+17在［3,+∞)上是增函数,即对任意的x1、x2∈［3,+∞)且x1(),即y1>y2.∴y=()在［3,+∞)上是减函数.同理,y=()在(-∞,3

19、］上是增函数.温馨提示当a>1时,函数y=af(x)与函数f(x)的单调性相同;当00且y≠2.∴值域为{y｜y>0且y≠2}.变式提升1已知指数函数f(x)=ax在［-1,1］上的最大值与最小值之差为1,求a的值.解析：当a>1时,f(x)max=a,f(x)min=a-1,由a=1,知a2-a-1=0,∴a=

20、.当01.5>1.44,∴21.8>21.5>21.44.∴y1>y3>y2.变式提升2将下列各数从小到大排列起来:(),(),3,(),(),()0,(-2)3,().解析：∵()0=1,∴

21、可先将其余的数分成三类:(1)负数:(-2)3;(2)大于0小于1的数:(),(),()=();(3)大于1的数:()=(),3,().在(2)中,()÷()=(×)>1,∴()>().∵0<<1,<,∴()>().故在(2)类中,有()<()<().在(3)中,()=()<()<3.由此可得(-2)3<()<()<()-<()0<()<()<3.类题演练3求函数f(x)=()的单调区间.解析：由x2-2x-3≥0,得x≥3或x≤-1.又知g(x)=x2-2x-3在［3,+∞)上是增函数,在(-∞

22、,-1］上是减函数.又∵<1,∴f(x)的递增区间为(-∞,-1］,递减区间为［3,+∞).变式提升3方程2ax2-x-1=0(a≠0)在［-1,1］上有且仅有一个实根,求函数y=a(a>0且a≠1)的单调区间.解析：设f(x)=2ax2-x-1.在［-1,1］上方程有且仅有一个实根,f(-1)f(1)≤0,即2a·(2a-2)≤0,∴0≤a≤1.∵a>0,a≠1,∴0