高中数学 第三章 不等式 3.1 不等关系与不等式学案 新人教A版必修.doc

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1、3.1不等关系与不等式学习目标　1.能用不等式(组)表示实际问题的不等关系.2.初步学会作差法比较两实数的大小.3.掌握不等式的基本性质，并能运用这些性质解决有关问题．知识点一　不等关系思考　限速40km/h的路标，指示司机在前方路段行驶时，应使汽车的速度v不超过40km/h，用不等式如何表示？答案　v≤40.梳理　试用不等式表示下列关系：(1)a大于b　　　a＞b(2)a小于ba

2、吗？答案　作差：x2＋1－2x＝(x－1)2≥0，所以x2＋1≥2x.梳理　作差法的理论依据：a>b⇔a－b>0；a＝b⇔a－b＝0；ab，b>c⇒a>c.答案　a>b，b>c⇒a－b>0，b－c>0⇒a－b＋b－c>0⇒a－c>0⇒a>c.梳理　不等式性质：(1)a>b⇔bb，b>c⇒a>c(传递性)；(3)a>b⇒a＋c>b＋c(可加性)；(4)a>b，c>0⇒ac>bc；a>b，c<0⇒acb，c>d⇒a＋c>b＋d；(6)a>b>0，c>d>0⇒ac

3、>bd；(7)a>b>0，n∈N，n≥1⇒an>bn；(8)a>b>0，n∈N，n≥2⇒>.类型一　用不等式(组)表示不等关系例1　某种杂志原以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本．据市场调查，若单价每提高0.1元，销售量就可能相应减少2000本．若把提价后杂志的定价设为x元，怎样用不等式表示销售的总收入仍不低于20万元呢？解　提价后销售的总收入为x万元，那么不等关系“销售的总收入仍不低于20万元”可以表示为不等式x≥20.反思与感悟　数学中的能力之一就是抽象概括能力，即能用数学语言表示出实际问题中的数量关系．用不等式(组)表示实际问题中的不等关系时：(1)要先读懂

4、题，设出未知量；(2)抓关键词，找到不等关系；(3)用不等式表示不等关系．思维要严密、规范．跟踪训练1　某钢铁厂要把长度为4000mm的钢管截成500mm和600mm两种．按照生产的要求，600mm的钢管数量不能超过500mm钢管的3倍．怎样写出满足上述所有不等关系的不等式呢？解　设截得500mm的钢管x根，截得600mm的钢管y根．根据题意，应有如下的不等关系：(1)截得两种钢管的总长度不能超过4000mm；(2)截得600mm钢管的数量不能超过500mm钢管数量的3倍；(3)截得两种钢管的数量都不能为负．要同时满足上述的三个不等关系，可以用不等式组表示为类型二　比

5、较大小命题角度1　作差法比较大小例2　已知a，b均为正实数．试利用作差法比较a3＋b3与a2b＋ab2的大小．解　∵a3＋b3－(a2b＋ab2)＝(a3－a2b)＋(b3－ab2)＝a2(a－b)＋b2(b－a)＝(a－b)(a2－b2)＝(a－b)2(a＋b)．当a＝b时，a－b＝0，a3＋b3＝a2b＋ab2；当a≠b时，(a－b)2>0，a＋b>0，a3＋b3>a2b＋ab2.综上所述，a3＋b3≥a2b＋ab2.反思与感悟　比较两个实数的大小，只要考察它们的差就可以了．作差法比较实数的大小的一般步骤是作差→恒等变形→判断差的符号→下结论．作差后变形是比较大小

6、的关键一步，变形的方向是化成几个完全平方数和的形式或一些易判断符号的因式积的形式．跟踪训练2　已知x＜1，试比较x3－1与2x2－2x的大小．解　∵(x3－1)－(2x2－2x)＝x3－2x2＋2x－1＝(x3－x2)－(x2－2x＋1)＝x2(x－1)－(x－1)2＝(x－1)(x2－x＋1)＝(x－1)[(x－)2＋]，∵(x－)2＋＞0，x－1＜0，∴(x－1)[(x－)2＋]＜0，∴x3－1＜2x2－2x.命题角度2　作商法比较大小例3　若0＜x＜1，a＞0且a≠1，试比较

7、loga(1－x)

8、与

9、loga(1＋x)

10、的大小关系．解　＝＝，∵0＜x＜1，∴＝－

11、log(1＋x)(1－x)＝log(1＋x)，∵1－x2＝(1＋x)(1－x)＜1，且1－x＞0，∴1＋x＜，∴log(1＋x)＞1，即＞1，∴

12、loga(1＋x)

13、＜

14、loga(1－x)

15、.反思与感悟　作商法的依据：若b＞0，则＞1⇔a＞b.跟踪训练3　若a＞b＞0，比较aabb与abba的大小．解　＝aa－bbb－a＝()a－b，∵a＞b＞0，∴＞1，a－b＞0，∴()a－b＞1，即＞1，又∵a＞b＞0，∴aabb＞abba.类型三　不等式的基本性质例4　已知a>b>0，c<0，求证：>.证明　因为a>b>0，所以ab>0，>0.于是a×>b×，