高中数学 第一章 集合与函数概念 1.2 函数及其表示 1.2.2 函数的表示法 第二课时 分段函数与映射学案（含解析）新人教A版必修.doc

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1、第二课时　分段函数与映射分段函数[提出问题]某市空调公共汽车的票价按下列规则制定：(1)5千米以内，票价2元；(2)5千米以上，每增加5千米，票价增加1元(不足5千米的按5千米计算)．已知两个相邻的公共汽车站间相距1千米，沿途(包括起点站和终点站)有11个汽车站．问题1：从起点站出发，公共汽车的行程x(千米)与票价y(元)有函数关系吗？提示：有函数关系．问题2：若有函数关系，函数的表达式是什么？提示：y＝问题3：x与y之间有何特点？提示：x在不同区间内取值时，与y所对应的关系不同．[导入新知]如果函数y＝f(x)，x∈A，根据自变量x在不同

2、的取值范围内，函数有着不同的对应关系，称这样的函数为分段函数．[化解疑难]分段函数的三要点(1)分段函数是一个函数，切不可把它看成是几个函数．分段函数在书写时用大括号把各段函数合并写成一个函数的形式，并且必须指明各段函数自变量的取值范围．(2)一个函数只有一个定义域，分段函数的定义域只能写成一个集合的形式，不能分开写成几个集合的形式．(3)求分段函数的值域，应先求出各段函数在对应自变量的取值范围内的函数值的集合，再求出它们的并集.映　射[提出问题]A＝{x

3、x是三角形}，B＝{x

4、x是圆}．对应关系：每一个三角形都对应它的外接圆．问题1：从

5、集合A到集合B能构成函数吗？提示：不能．问题2：从集合A到集合B的对应有什么特点？提示：对于集合A中的任何一个三角形，在集合B中都有唯一的外接圆与之对应．[导入新知]映射的定义设A，B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f：A→B为从集合A到集合B的一个映射．[化解疑难]映射与函数的区别与联系　　　名称区别与联系　　　函数映射区别函数中的两个集合A和B必须是非空数集映射中的两个集合A和B可以是数集，也可以是其他集合，只要非空即可联系函数是一种特殊

6、的映射；映射是函数概念的推广，但不一定是函数分段函数求值问题[例1]　已知函数f(x)＝(1)求f(－5)，f(－)，f的值；(2)若f(a)＝3，求实数a的值．[解]　(1)由－5∈(－∞，－2]，－∈(－2,2)，－∈(－∞，－2]，知f(－5)＝(－5)＋1＝－4，f(－)＝(－)2＋2×(－)＝3－2.∵f＝＋1＝－，且－2<－<2，∴f＝f＝2＋2×＝－3＝－.(2)当a≤－2时，a＋1＝3，即a＝2>－2，不合题意，舍去．当－2

7、∵1∈(－2,2)，－3∉(－2,2)，∴a＝1符合题意．当a≥2时，2a－1＝3，即a＝2，符合题意．综上可得，当f(a)＝3时，a＝1，或a＝2.[类题通法]1．求分段函数的函数值的方法先确定要求值的自变量的取值属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值．当出现f(f(a))的形式时，应从内到外依次求值，直到求出值为止．2．求某条件下自变量的值的方法先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后相应求出自变量的值，切记代入检验．[活学活用]已知函数f(x)＝(1)求f(f(－2))的值；(2)求f(a2＋1)(a∈R)的值；(3)当－4≤

8、x＜3时，求f(x)的值域．解：(1)∵f(－2)＝1－2×(－2)＝5，∴f(f(－2))＝f(5)＝4－52＝－21.(2)当a∈R时，a2＋1≥1＞0，∴f(a2＋1)＝4－(a2＋1)2＝－a4－2a2＋3(a∈R)．(3)①当－4≤x＜0时，f(x)＝1－2x，∴1＜f(x)≤9；②当x＝0时，f(x)＝2；③当0＜x＜3时，f(x)＝4－x2，∴－5＜f(x)＜4.故当－4≤x＜3时，函数f(x)的值域是(－5,9].分段函数的图象及应用[例2]　(1)如图为一分段函数的图象，则该函数的定义域为________，值域为_____

9、___．(2)已知函数f(x)＝1＋(－2

10、数图象的画法(1)对含有绝对值的函数，要作出其图象，首先应根据绝对值的意义去掉绝对值符号，将函数转化为分段函数，然后分段作出函数图象．(2)作分段函数的图象时，分别作出各段的图象