高中数学 第一章 解三角形 1.1.2 余弦定理（一）学案 新人教B版必修.doc

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1、1.1.2　余弦定理(一)[学习目标]　1.理解余弦定理的证明.2.初步运用余弦定理及其变形形式解三角形．[知识链接]1.以下问题可以使用正弦定理求解的是．(1)已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角，进而可求其他的边和角．(2)已知两角和一边，求其他角和边．(3)已知一个三角形的两条边及其夹角，求其他的边和角．(4)已知一个三角形的三条边，解三角形．答案　(1)(2)2．如图所示，在直角坐标系中，若A(0,0)，B(c,0)，C(bcosA，bsinA)．利用两点间距离公式表示出

2、BC

3、，化简后会得出怎样的结

4、论？解　a2＝

5、BC

6、2＝(bcosA－c)2＋(bsinA－0)2＝b2(sin2A＋cos2A)－2bccosA＋c2＝b2＋c2－2bccosA.得出a2＝b2＋c2－2bccosA.[预习导引]1．余弦定理三角形任何一边的平方等于其他两边的平方和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍．即a2＝b2＋c2－2bccosA，b2＝c2＋a2－2cacosB，c2＝a2＋b2－2abcosC.2．余弦定理的变形cosA＝，cosB＝，cosC＝.要点一　已知两边及一角解三角形例1　已知△ABC，根据下列条件解三角

7、形：(1)b＝3，c＝3，B＝30°；(2)a＝，b＝，B＝45°.解　(1)方法一　由余弦定理b2＝a2＋c2－2accosB，得32＝a2＋(3)2－2a×3×cos30°，∴a2－9a＋18＝0，得a＝3或6.当a＝3时，由于b＝3，∴A＝B＝30°，∴C＝120°.当a＝6时，由正弦定理得sinA＝＝＝1.∴A＝90°，∴C＝60°.方法二　由正弦定理得sinC＝＝＝，由b

8、a＝b＝3.(2)由余弦定理知b2＝a2＋c2－2accosB.∴2＝3＋c2－2·c.即c2－c＋1＝0，解得c＝或c＝，当c＝时，由余弦定理，得cosA＝＝＝.∵0°＜A＜180°，∴A＝60°，∴C＝75°.当c＝时，由余弦定理，得cosA＝＝＝－.∵0°＜A＜180°，∴A＝120°，C＝15°.故c＝，A＝60°，C＝75°或c＝，A＝120°，C＝15°.规律方法　已知两边及一角解三角形有以下两种情况：(1)若已知角是其中一边的对角，有两种解法，一种方法是利用正弦定理先求角，再求边；另一种方法是用余弦

9、定理列出关于另一边的一元二次方程求解．(2)若已知角是两边的夹角，则直接运用余弦定理求出另外一边，然后根据边角关系利用正弦定理求解或者直接利用余弦定理求角．跟踪演练1　在△ABC中，已知a＝5，b＝3，角C的余弦值是方程5x2＋7x－6＝0的根，求第三边长c.解　5x2＋7x－6＝0可化为(5x－3)(x＋2)＝0.∴x1＝，x2＝－2(舍去)．∴cosC＝.根据余弦定理，c2＝a2＋b2－2abcosC＝52＋32－2×5×3×＝16.∴c＝4，即第三边长为4.要点二　已知三边或三边关系解三角形例2　(1)已知

10、△ABC的三边长为a＝2，b＝2，c＝＋，求△ABC的各角度数．(2)已知三角形ABC的三边长为a＝3，b＝4，c＝，求△ABC的最大内角．解　(1)由余弦定理得：cosA＝＝＝，∴A＝60°.cosB＝＝＝，∴B＝45°，∴C＝180°－A－B＝75°.(2)∵c＞a，c＞b，∴角C最大．由余弦定理，得c2＝a2＋b2－2abcosC，即37＝9＋16－24cosC，∴cosC＝－，∵0°＜C＜180°，∴C＝120°.∴△ABC的最大内角为120°.规律方法　(1)已知三角形三边求角时，可先利用余弦定理求角，

11、再用正弦定理求解，在用正弦定理求解时，要根据边的大小确定角的大小，防止产生增解或漏解．(2)若已知三角形三边的比例关系，常根据比例的性质引入k，从而转化为已知三边解三角形．跟踪演练2　在△ABC中，已知BC＝7，AC＝8，AB＝9，试求AC边上的中线长．解　由余弦定理和条件，得cosA＝＝＝，设中线长为x，由余弦定理，得x2＝()2＋AB2－2··ABcosA＝42＋92－2×4×9×＝49，∴x＝7.所以所求AC边上的中线长为7.要点三　三角形形状的判断例3　在△ABC中，已知cos2＝，判断△ABC的形状．解

12、　方法一　在△ABC中，由已知cos2＝，得＝，∴cosA＝.根据余弦定理，得＝.∴b2＋c2－a2＝2b2，即a2＋b2＝c2.∴△ABC是直角三角形．方法二　在△ABC中，设其外接圆半径为R，由正弦定理，b＝2RsinB，c＝2RsinC，由cos2＝知，cosA＝.∴cosA＝，即sinB＝sinCcosA.∵B＝π－(A＋C)，∴sin(A＋C)＝sinCcosA