高中数学 1.1.2 余弦定理（二）学案 新人教B版必修.doc

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1、1.1.2　余弦定理(二)自主学习知识梳理1．在△ABC中，边a、b、c所对的角分别为A、B、C，则有：(1)A＋B＋C＝________，＝____________.(2)sin(A＋B)＝__________，cos(A＋B)＝__________，tan(A＋B)＝________.(3)sin＝________，cos＝________.2．正弦定理及其变形(1)＝＝＝________.(2)a＝____________，b＝____________，c＝____________.(3)sinA＝

2、________，sinB＝________，sinC＝________.(4)sinA∶sinB∶sinC＝____________.3．余弦定理及其推论(1)a2＝____________.(2)cosA＝____________.(3)在△ABC中，c2＝a2＋b2⇔C为______；c2>a2＋b2⇔C为______；c2

3、个数．对于这一类问题能否利用余弦定理来解三角形，请结合下面的例子加以探究．例：在△ABC中，若∠B＝30°，AB＝2，AC＝2，则满足条件的三角形有几个？对点讲练知识点一　利用正、余弦定理证明三角恒等式例1　在△ABC中，求证：＝.总结　证明三角恒等式关键是消除等号两端三角函数式的差异．形式上一般有：左⇒右；右⇒左或左⇒中⇐右三种．变式训练1　在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边．求证：＝.知识点二　利用正、余弦定理判断三角形形状例2　在△ABC中，若B＝60°，2b＝a＋c，试判断△ABC的

4、形状．总结　题中边的大小没有明确给出，而是通过一个关系式来确定的，可以考虑利用正弦定理将边的关系转化为角的关系，也可以利用余弦定理将边、角关系转化为边的关系来判断．变式训练2　在△ABC中，已知(a＋b＋c)(b＋c－a)＝3bc，且sinA＝2sinBcosC，试确定△ABC的形状．知识点三　利用正、余弦定理解关于三角形的综合问题例3　在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，cosB＝，且·＝－21.(1)求△ABC的面积；(2)若a＝7，求角C.总结　这是一道向量，正、余弦定理的综合题，解题

5、的关键是化去向量的“伪装”，找到三角形的边角关系．变式训练3　△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知b2＝ac且cosB＝.(1)求＋的值；(2)设·＝，求a＋c的值．1．解斜三角形的常见类型及解法在三角形的6个元素中要已知三个(至少有一边)才能求解，常见类型及其解法见下表：已知条件应用定理一般解法一边和两角(如a，B，C)正弦定理由A＋B＋C＝180°，求角A；由正弦定理求出b与c.在有解时只有一解．两边和夹角(如a，b，C)余弦定理正弦定理由余弦定理求第三边c；由正弦定理求出小边所对的

6、角；再由A＋B＋C＝180°求出另一角．在有解时只有一解.三边(a，b，c)余弦定理由余弦定理求出角A、B；再利用A＋B＋C＝180°，求出角C.在有解时只有一解．两边和其中一边的对角如(a，b，A)正弦定理余弦定理由正弦定理求出角B；由A＋B＋C＝180°，求出角C；再利用正弦定理或余弦定理求c.可有两解、一解或无解.2.根据所给条件确定三角形的形状，主要有两种途径(1)化边为角；(2)化角为边，并常用正弦(余弦)定理实施边、角转换.课时作业一、选择题1．在△ABC中，若2cosBsinA＝sinC，则

7、△ABC的形状一定是(　　)A．等腰直角三角形B．直角三角形C．等腰三角形D．等边三角形2．在△ABC中，若b2＝a2＋c2＋ac，则B等于(　　)A．60°B．45°或135°C．120°D．30°3．△ABC的三边分别为a，b，c且满足b2＝ac,2b＝a＋c，则此三角形是(　　)A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等边三角形4．在△ABC中，若a2＝bc，则角A是(　　)A．锐角B．钝角C．直角D．60°5．如果将直角三角形的三边增加同样的长度，则新三角形的形状是(　　)A．锐角三角形

8、B．直角三角形C．钝角三角形D．由增加的长度确定二、填空题6．已知△ABC的面积为2，BC＝5，A＝60°，则△ABC的周长是________．7．在△ABC中，若lga－lgc＝lgsinA＝－lg，并且A为锐角，则△ABC为__________三角形．8．设2a＋1，a,2a－1为钝角三角形的三边，那么a的取值范围是________．三、解答题9．在△ABC中，求证：＝.1．1.2　余弦定理(二)知识梳理1．(1)π　－