高中数学 第一章 基本初等函数(Ⅱ)1.1.2 弧度制和弧度制与角度制的换算学案 新人教B版必修.doc

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1、1.1.2　弧度制和弧度制与角度制的换算[学习目标]　1.理解角度制与弧度制的概念，能对弧度和角度进行正确的转换.2.体会引入弧度制的必要性，建立角的集合与实数集一一对应关系.3.掌握并能应用弧度制下的弧长公式和扇形面积公式．[知识链接]1．初中几何研究过角的度量，当时是用度来做单位度量角的．那么1°的角是如何定义的？它的大小与它所在圆的大小是否有关？答　规定周角的做为1°的角；它的大小与它所在圆的大小无关．2．用度做单位来度量角的制度叫做角度制，在初中有了它就可以计算扇形弧长和面积，其公式是什么？答　l＝，S＝.[预习导引]1．弧度制(1

2、)弧度制的定义长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号rad表示，读作弧度．以弧度作为单位来度量角的单位制叫做弧度制．(2)任意角的弧度数与实数的对应关系正角的弧度数是一个正数；负角的弧度数是一个负数；零角的弧度数是零．(3)角的弧度数的计算如果半径为r的圆的圆心角α所对弧的长为l，那么，角α的弧度数的绝对值是

3、α

4、＝.2．角度制与弧度制的换算(1)角度化弧度弧度化角度360°＝2πrad2πrad＝360°180°＝πradπrad＝180°1°＝rad≈0.01745rad1rad＝°≈57.30°(2)一些特殊角的度数与

5、弧度数的对应关系角度0°1°30°45°60°90°120°135°150°180°270°360°弧度0π2π3.扇形的弧长及面积公式设扇形的半径为R，弧长为l，α(0<α<2π)为其圆心角，则度量单位类别α为角度制α为弧度制扇形的弧长l＝l＝α·R扇形的面积S＝S＝l·R＝α·R2要点一　角度制与弧度制的换算例1　将下列角度与弧度进行互化．(1)20°；(2)－15°；(3)；(4)－.解　(1)20°＝＝.(2)－15°＝－π＝－.(3)＝×°＝105°.(4)－＝－×°＝－396°.规律方法　(1)进行角度与弧度换算时，要抓住关系式

6、πrad＝180°.(2)熟记特殊角的度数与弧度数的对应值．跟踪演练1　(1)把112°30′化成弧度；(2)把－化成度．解　(1)112°30′＝°＝×＝.(2)－＝－×°＝－75°.要点二　用弧度制表示终边相同的角例2　把下列各角化成2kπ＋α(0≤α<2π，k∈Z)的形式，并指出是第几象限角：(1)－1500°；　(2)；　(3)－4.解　(1)∵－1500°＝－1800°＋300°＝－5×360°＋300°.∴－1500°可化成－10π＋，是第四象限角．(2)∵＝2π＋，∴与终边相同，是第四象限角．(3)∵－4＝－2π＋(2π－4)

7、，＜2π－4＜π.∴－4与2π－4终边相同，是第二象限角．规律方法　用弧度制表示终边相同的角2kπ＋α(k∈Z)时，其中2kπ是π的偶数倍，而不是整数倍，还要注意角度制与弧度制不能混用．跟踪演练2　设α1＝－570°，α2＝750°，β1＝，β2＝－.(1)将α1，α2用弧度制表示出来，并指出它们各自的终边所在的象限；(2)将β1，β2用角度制表示出来，并在－720°～0°范围内找出与它们终边相同的所有角．解　(1)∵180°＝πrad，∴α1＝－570°＝－＝－＝－2×2π＋，α2＝750°＝＝＝2×2π＋.∴α1的终边在第二象限，α2的

8、终边在第一象限．(2)β1＝＝×°＝108°，设θ＝108°＋k·360°(k∈Z)，则由－720°≤θ<0°，即－720°≤108°＋k·360°<0°，得k＝－2，或k＝－1.故在－720°～0°范围内，与β1终边相同的角是－612°和－252°.β2＝－＝－60°，设γ＝－60°＋k·360°(k∈Z)，则由－720°≤－60°＋k·360°<0°，得k＝－1，或k＝0.故在－720°～0°范围内，与β2终边相同的角是－420°.要点三　扇形的弧长及面积公式的应用例3　一个扇形的面积为1，周长为4，求圆心角的弧度数．解　设扇形的半径为

9、R，弧长为l，则2R＋l＝4，∴l＝4－2R，根据扇形面积公式S＝lR，得1＝(4－2R)·R，∴R＝1，∴l＝2，∴α＝＝＝2，即扇形的圆心角为2rad.规律方法　(1)联系半径、弧长和圆心角的有两个公式：一是S＝lr＝

10、α

11、r2，二是l＝

12、α

13、r，如果已知其中两个，就可以求出另一个．(2)当扇形周长一定时，其面积有最大值，最大值的求法是把面积S转化为半径r的函数．跟踪演练3　若一扇形的圆心角为72°，半径为20cm，则扇形的面积为(　　)A．40πcm2B．80πcm2C．40cm2D．80cm2答案　B解析　∵72°＝，∴S扇形＝αr

14、2＝××202＝80π(cm2).1．时针经过一小时，时针转过了(　　)A.radB．－radC.radD．－rad答案　B解析　时针经过一小时，转过－30°，又－30°＝－ra