高中数学 第一章 基本初等函数(Ⅱ)1.3.1 正弦函数的图象与性质(三)学案 新人教B版必修.doc

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1、1.3.1　正弦函数的图象与性质(三)[学习目标]　1.掌握y＝sinx的最大值与最小值，并会求简单三角函数的值域和最值.2.掌握y＝sinx的单调性，并能利用单调性比较大小.3.会求函数y＝Asin(ωx＋φ)的单调区间．[知识链接]1．怎样求函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的最小正周期？答　由诱导公式一知：对任意x∈R，都有Asin[(ωx＋φ)＋2π]＝Asin(ωx＋φ)，所以Asin＝Asin(ωx＋φ)，即f＝f(x)，所以f(x)＝Asin(ωx＋φ)(ω≠0)是周期函数，就是它的一个周期．由于x至少要增加个单位，f(x

2、)的函数值才会重复出现，因此，是函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的最小正周期．2．观察正弦曲线，正弦函数是否存在最大值和最小值？若存在，其最大值和最小值分别为多少？答　正弦函数存在最大值和最小值，分别是1和－1.[预习导引]　正弦函数的图象和性质函数y＝sinx图象定义域(－∞，＋∞)或R值域[－1,1]奇偶性奇函数周期最小正周期：2π单调性在上递增；在上递减，其中k∈Z最值x＝＋2kπ时，ymax＝1(k∈Z)；x＝－＋2kπ时，ymin＝－1(k∈Z)对称性对称中心：(kπ，0)，对称轴：x＝＋kπ(k∈Z)要点一　求函数的单调区

3、间例1　求函数y＝2sin的单调递增区间．解　y＝2sin＝－2sin，令z＝x－，则y＝－2sinz.因为z是x的一次函数，所以要求y＝－2sinz的递增区间，即求sinz的递减区间，即2kπ＋≤z≤2kπ＋(k∈Z)．所以2kπ＋≤x－≤2kπ＋(k∈Z)，2kπ＋≤x≤2kπ＋(k∈Z)，所以函数y＝2sin的递增区间为(k∈Z)．规律方法　用整体替换法求函数y＝Asin(ωx＋φ)的单调区间时，如果式子中x的系数为负数，先利用诱导公式将x的系数变为正数再求其单调区间．再将最终结果写成区间形式．跟踪演练1　求下列函数的单调递增区间

4、：(1)y＝1＋2sin；(2)y＝logsinx.解　(1)y＝1＋2sin＝1－2sin.令u＝x－，则根据复合函数的单调性知，所给函数的单调递增区间就是y＝sinu的单调递减区间，即2kπ＋≤u≤2kπ＋π(k∈Z)，亦即2kπ＋≤x－≤2kπ＋(k∈Z)．亦即2kπ＋π≤x≤2kπ＋π(k∈Z)，故函数y＝1＋2sin的单调递增区间是2kπ＋π，2kπ＋π(k∈Z)．(2)由sinx>0，得2kπ

5、.故函数y＝logsinx的单调递增区间为(k∈Z)．要点二　函数的单调性的应用例2　利用三角函数的单调性，比较下列各组数的大小：(1)sin与sin；(2)sin196°与cos156°.解　(1)∵－<－<－<，∴sin>sin.(2)sin196°＝sin(180°＋16°)＝－sin16°，cos156°＝cos(180°－24°)＝－cos24°＝－sin66°，∵0°<16°<66°<90°，∴sin16°－sin66°，即sin196°>cos156°.规律方法　用正弦函数的单调性比较大

6、小时，应先将异名化同名，把不在同一单调区间内的角用诱导公式转化到同一单调区间，再利用单调性来比较大小．跟踪演练2　比较下列各组数的大小．(1)sin与sin；(2)cos870°与sin980°.解　(1)sin＝sin＝sin，sin＝sin＝sin，∵y＝sinx在上是增函数，∴sin

7、∴sin80°>sin60°，∴－sin60°>－sin80°，即cos870°>sin980°.要点三　正弦函数的最值(值域)例3　(1)求函数y＝3－2sinx取得最大值、最小值时的自变量x的集合，并分别写出最大值、最小值；(2)求函数f(x)＝2sin2x＋2sinx－，x∈的值域．解　(1)∵－1≤sinx≤1，∴当sinx＝－1，即x＝2kπ＋，k∈Z时，y取得最大值5，相应的自变量x的集合为.当sinx＝1，即x＝2kπ＋，k∈Z时，y取得最小值1，相应的自变量x的集合为.(2)令t＝sinx，y＝f(t)，∵x∈，∴≤si

8、nx≤1，即≤t≤1.∴y＝2t2＋2t－＝22－1，∴1≤y≤，∴函数f(x)的值域为.规律方法　(1)形如y＝asinx＋b的函数的最值或值域问题，利用正弦函数的有界性(－1≤sinx≤1)求解．求三角