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时间:2020-07-04
《高中数学 第一章 坐标系 1.3 曲线的极坐标方程学案 新人教B版选修.doc》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、1.3曲线的极坐标方程[对应学生用书P8][读教材·填要点]1.曲线的极坐标方程在给定的平面上的极坐标系下,有一个二元方程F(ρ,θ)=0.如果曲线C是由极坐标(ρ,θ)满足方程的所有的点组成的,则称此二元方程F(ρ,θ)=0为曲线C的极坐标方程.2.直线的极坐标方程(1)当直线l过极点,从极轴到l的角是θ0,则l的方程为θ=θ0.(2)当直线l过点M(d,0)且垂直于极轴时,l的方程为ρcosθ=d.(3)当直线l过点M(d,),且平行于极轴时,l的方程为ρsin_θ=d.(4)极点到直线l的距离为d,极轴到过极点的直线l的垂线的角度为α,此时直线l的方程为ρcos_(α-θ)=d.[小问
2、题·大思维]1.在直角坐标系中,曲线上每一点的坐标一定适合它的方程.那么,在极坐标系中,曲线上一点的所有极坐标是否一定都适合方程?提示:在直角坐标系内,曲线上每一点的坐标一定适合它的方程,可是在极坐标系内,曲线上一点的所有坐标不一定都适合方程.例如,给定曲线ρ=θ,设点P的一极坐标为,那么点P适合方程ρ=θ,从而是曲线上的一个点,但点P的另一个极坐标就不适合方程ρ=θ了.所以在极坐标系内,确定某一个点P是否在某一曲线C上,只需判断点P的极坐标中是否有一对坐标适合曲线C的方程即可.2.在直线的极坐标方程中,ρ的取值范围是什么?提示:ρ的取值范围是全体实数.[对应学生用书P8]极坐标方程与直角坐
3、标方程的互化[例1] 进行直角坐标方程与极坐标方程的互化:(1)y2=4x;(2)y2+x2-2x-1=0;(3)ρcos2=1;(4)ρ2cos2θ=4;(5)ρ=.[思路点拨] 本题考查极坐标与直角坐标的互化公式.[精解详析] (1)将x=ρcosθ,y=ρsinθ代入y2=4x,得(ρsinθ)2=4ρcosθ.化简,得ρsin2θ=4cosθ.(2)将x=ρcosθ,y=ρsinθ代入y2+x2-2x-1=0,得(ρsinθ)2+(ρcosθ)2-2ρcosθ-1=0.化简,得ρ2-2ρcosθ-1=0.(3)∵ρcos2=1,∴ρ·=1,即ρ+ρcosθ=2∴+x=2.化简,得y2
4、=-4(x-1).(4)∵ρ2cos2θ=4,∴ρ2cos2θ-ρ2sin2θ=4,即x2-y2=4.(5)∵ρ=,∴2ρ-ρcosθ=1.∴2-x=1.化简,得3x2+4y2-2x-1=0.直角坐标方程化为极坐标方程比较容易,只要运用公式x=ρcosθ及y=ρsinθ直接代入并化简即可;而极坐标方程化为直角坐标方程则相对困难一些,解此类问题常通过变形,构造形如ρcosθ,ρsinθ,ρ2的形式,进行整体代换.其中方程的两边同乘以(或同除以)ρ及方程两边平方是常用的变形方法.但对方程进行变形时,方程必须同解,因此应注意对变形过程的检验.1.求极坐标方程ρcos=1所表示的直角坐标方程.解:将
5、ρcos=1化为ρcosθ+ρsinθ=1.将ρcosθ=x,ρsinθ=y代入上式,得x+=1,即x+y-2=0.求曲线的极坐标方程[例2] 在直角坐标系xOy中,以O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系.曲线C的极坐标方程为ρcos=1,M,N分别为C与x轴、y轴的交点.(1)写出C的直角坐标方程,并求M,N的极坐标;(2)设MN的中点为P,求直线OP的极坐标方程.[思路点拨] (1)利用两角差余弦公式展开,结合互化公式可得直角坐标方程.(2)先求出P点的直角坐标,再求出OP的极坐标方程.[精解详析] (1)由ρcos=1得ρ=1.从而C的直角坐标方程为x+y=1,即x+y=2.当θ=0
6、时,ρ=2,所以M(2,0).当θ=时,ρ=,所以N.(2)∵M点的直角坐标为(2,0),N点的直角坐标为,所以P点的直角坐标为.则P点的极坐标为,所以直线OP的极坐标方程为θ=(ρ∈R).2.设M是定圆O内一定点,任作半径OA,连接MA,自M作MP⊥MA交OA于P,求P点的轨迹方程.解:以O为极点,射线OM为极轴,建立极坐标系,如图.设定圆O的半径为r,OM=a,P(ρ,θ)是轨迹上任意一点.∵MP⊥MA,∴
7、MA
8、2+
9、MP
10、2=
11、PA
12、2.由余弦定理,可知
13、MA
14、2=a2+r2-2arcosθ,
15、MP
16、2=a2+ρ2-2aρcosθ.而
17、PA
18、=r-ρ,由此可得a2+r2-2arcos
19、θ+a2+ρ2-2aρcosθ=(r-ρ)2.整理化简,得ρ=.求直线的极坐标方程[例3] 求出下列直线的极坐标方程:(1)过定点M(ρ0,θ0),且与极轴成α弧度的角;(2)过定点M(ρ0,θ0),且与直线θ=θ0垂直.[思路点拨] 本题考查直线的极坐标方程的求法.解答本题需要根据已知条件画出极坐标系,然后借助平面几何的知识建立ρ与θ间的关系.[精解详析] (1)设P(ρ,θ)为直线上任意一点(如图),且记
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