高中数学 第一章 坐标系 1.3 曲线的极坐标方程学案 新人教B版选修.doc

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1、1.3曲线的极坐标方程[对应学生用书P8][读教材·填要点]1．曲线的极坐标方程在给定的平面上的极坐标系下，有一个二元方程F(ρ，θ)＝0.如果曲线C是由极坐标(ρ，θ)满足方程的所有的点组成的，则称此二元方程F(ρ，θ)＝0为曲线C的极坐标方程．2．直线的极坐标方程(1)当直线l过极点，从极轴到l的角是θ0，则l的方程为θ＝θ0.(2)当直线l过点M(d,0)且垂直于极轴时，l的方程为ρcosθ＝d.(3)当直线l过点M(d，)，且平行于极轴时，l的方程为ρsin_θ＝d.(4)极点到直线l的距离为d，极轴到过极点的直线l的垂线的角度为α，此时直线l的方程为ρcos_(α－θ)＝d.[小问

2、题·大思维]1．在直角坐标系中，曲线上每一点的坐标一定适合它的方程．那么，在极坐标系中，曲线上一点的所有极坐标是否一定都适合方程？提示：在直角坐标系内，曲线上每一点的坐标一定适合它的方程，可是在极坐标系内，曲线上一点的所有坐标不一定都适合方程．例如，给定曲线ρ＝θ，设点P的一极坐标为，那么点P适合方程ρ＝θ，从而是曲线上的一个点，但点P的另一个极坐标就不适合方程ρ＝θ了．所以在极坐标系内，确定某一个点P是否在某一曲线C上，只需判断点P的极坐标中是否有一对坐标适合曲线C的方程即可．2．在直线的极坐标方程中，ρ的取值范围是什么？提示：ρ的取值范围是全体实数．[对应学生用书P8]极坐标方程与直角坐

3、标方程的互化[例1]　进行直角坐标方程与极坐标方程的互化：(1)y2＝4x；(2)y2＋x2－2x－1＝0；(3)ρcos2＝1；(4)ρ2cos2θ＝4；(5)ρ＝.[思路点拨]　本题考查极坐标与直角坐标的互化公式．[精解详析]　(1)将x＝ρcosθ，y＝ρsinθ代入y2＝4x，得(ρsinθ)2＝4ρcosθ.化简，得ρsin2θ＝4cosθ.(2)将x＝ρcosθ，y＝ρsinθ代入y2＋x2－2x－1＝0，得(ρsinθ)2＋(ρcosθ)2－2ρcosθ－1＝0.化简，得ρ2－2ρcosθ－1＝0.(3)∵ρcos2＝1，∴ρ·＝1，即ρ＋ρcosθ＝2∴＋x＝2.化简，得y2

4、＝－4(x－1)．(4)∵ρ2cos2θ＝4，∴ρ2cos2θ－ρ2sin2θ＝4，即x2－y2＝4.(5)∵ρ＝，∴2ρ－ρcosθ＝1.∴2－x＝1.化简，得3x2＋4y2－2x－1＝0.直角坐标方程化为极坐标方程比较容易，只要运用公式x＝ρcosθ及y＝ρsinθ直接代入并化简即可；而极坐标方程化为直角坐标方程则相对困难一些，解此类问题常通过变形，构造形如ρcosθ，ρsinθ，ρ2的形式，进行整体代换．其中方程的两边同乘以(或同除以)ρ及方程两边平方是常用的变形方法．但对方程进行变形时，方程必须同解，因此应注意对变形过程的检验．1．求极坐标方程ρcos＝1所表示的直角坐标方程．解：将

5、ρcos＝1化为ρcosθ＋ρsinθ＝1.将ρcosθ＝x，ρsinθ＝y代入上式，得x＋＝1，即x＋y－2＝0.求曲线的极坐标方程[例2]　在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．曲线C的极坐标方程为ρcos＝1，M，N分别为C与x轴、y轴的交点．(1)写出C的直角坐标方程，并求M，N的极坐标；(2)设MN的中点为P，求直线OP的极坐标方程．[思路点拨]　(1)利用两角差余弦公式展开，结合互化公式可得直角坐标方程．(2)先求出P点的直角坐标，再求出OP的极坐标方程．[精解详析]　(1)由ρcos＝1得ρ＝1.从而C的直角坐标方程为x＋y＝1，即x＋y＝2.当θ＝0

6、时，ρ＝2，所以M(2,0)．当θ＝时，ρ＝，所以N.(2)∵M点的直角坐标为(2,0)，N点的直角坐标为，所以P点的直角坐标为.则P点的极坐标为，所以直线OP的极坐标方程为θ＝(ρ∈R)．2．设M是定圆O内一定点，任作半径OA，连接MA，自M作MP⊥MA交OA于P，求P点的轨迹方程．解：以O为极点，射线OM为极轴，建立极坐标系，如图．设定圆O的半径为r，OM＝a，P(ρ，θ)是轨迹上任意一点．∵MP⊥MA，∴

7、MA

8、2＋

9、MP

10、2＝

11、PA

12、2.由余弦定理，可知

13、MA

14、2＝a2＋r2－2arcosθ，

15、MP

16、2＝a2＋ρ2－2aρcosθ.而

17、PA

18、＝r－ρ，由此可得a2＋r2－2arcos

19、θ＋a2＋ρ2－2aρcosθ＝(r－ρ)2.整理化简，得ρ＝.求直线的极坐标方程[例3]　求出下列直线的极坐标方程：(1)过定点M(ρ0，θ0)，且与极轴成α弧度的角；(2)过定点M(ρ0，θ0)，且与直线θ＝θ0垂直．[思路点拨]　本题考查直线的极坐标方程的求法．解答本题需要根据已知条件画出极坐标系，然后借助平面几何的知识建立ρ与θ间的关系．[精解详析]　(1)设P(ρ，θ)为直线上任意一点(如图)，且记