高中数学 第1章 推理与证明 1.4 数学归纳法学案 北师大版选修.doc

《高中数学 第1章 推理与证明 1.4 数学归纳法学案 北师大版选修.doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、§4　数学归纳法1.了解数学归纳法的思想实质，掌握数学归纳法的两个步骤.(重点)2.体会归纳法原理，并能应用数学归纳法证明简单的命题.(重点、难点)[基础·初探]教材整理　数学归纳法阅读教材P16～P18，完成下列问题.1.数学归纳法的基本步骤数学归纳法是用来证明某些与正整数n有关的数学命题的一种方法.它的基本步骤是：(1)验证：当n取第一个值n0(如n0＝1或2等)时，命题成立；(2)在假设当n＝k(n∈N＋，k≥n0)时命题成立的前提下，推出当n＝k＋1时，命题成立.根据(1)(2)可以断定命题对一切从n0开始的正整数n都成立

2、.2.应用数学归纳法注意的问题(1)用数学归纳法证明的对象是与正整数n有关的命题.(2)在用数学归纳法证明中，两个基本步骤缺一不可.(3)步骤(2)的证明必须以“假设当n＝k(k≥n0，k∈N＋)时命题成立”为条件.判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)与正整数n有关的数学命题的证明只能用数学归纳法.(　　)(2)数学归纳法的第一步n0的初始值一定为1.(　　)(3)数学归纳法的两个步骤缺一不可.(　　)【答案】　(1)×　(2)×　(3)√[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：　　　

3、　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　解惑：　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　疑问2：　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　解惑：　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　疑问3：　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　解惑：　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　[小组合作型]用数学归纳法证明等式　(1)用数学归纳法证明等式1＋2＋3＋…

4、＋(n＋3)＝(n∈N＋)时，第一步验证n＝1时，左边应取的项是(　　)A.1B.1＋2C.1＋2＋3D.1＋2＋3＋4(2)用数学归纳法证明(n＋1)·(n＋2)·…·(n＋n)＝2n×1×3×…×(2n－1)(n∈N＋)，“从k到k＋1”左端增乘的代数式为__________.【导学号：】【自主解答】　(1)当n＝1时，左边应为1＋2＋3＋4，故选D.(2)令f(n)＝(n＋1)(n＋2)…(n＋n)，则f(k)＝(k＋1)·(k＋2)…(k＋k)，f(k＋1)＝(k＋2)(k＋3)…(k＋k)(2k＋1)(2k＋2)，所以＝

5、＝2(2k＋1).【答案】　(1)D　(2)2(2k＋1)数学归纳法证题的三个关键点1.验证是基础找准起点，奠基要稳，有些问题中验证的初始值不一定是1.2.递推是关键数学归纳法的实质在于递推，所以从“k”到“k＋1”的过程中，要正确分析式子项数的变化.关键是弄清等式两边的构成规律，弄清由n＝k到n＝k＋1时，等式的两边会增加多少项、增加怎样的项.3.利用假设是核心在第二步证明n＝k＋1成立时，一定要利用归纳假设，即必须把归纳假设“n＝k时命题成立”作为条件来导出“n＝k＋1”，在书写f(k＋1)时，一定要把包含f(k)的式子写出来

6、，尤其是f(k)中的最后一项，这是数学归纳法的核心，不用归纳假设的证明就不是数学归纳法.[再练一题]1.下面四个判断中，正确的是(　　)A.式子1＋k＋k2＋…＋kn(n∈N＋)中，当n＝1时，式子的值为1B.式子1＋k＋k2＋…＋kn－1(n∈N＋)中，当n＝1时，式子的值为1＋kC.式子1＋＋＋…＋(n∈N＋)中，当n＝1时，式子的值为1＋＋D.设f(n)＝＋＋…＋(n∈N＋)，则f(k＋1)＝f(k)＋＋＋【解析】　A中，n＝1时，式子＝1＋k；B中，n＝1时，式子＝1；C中，n＝1时，式子＝1＋＋；D中，f(k＋1)＝f(

7、k)＋＋＋－.故正确的是C.【答案】　C用数学归纳法证明不等式　(1)用数学归纳法证明不等式＋＋…＋>(n≥2，n∈N＋)的过程中，由n＝k推导n＝k＋1时，不等式的左边增加的式子是__________.(2)证明：不等式1＋＋＋…＋<2(n∈N＋).【精彩点拨】　(1)写出当n＝k时左边的式子，和当n＝k＋1时左边的式子，比较即可.(2)在由n＝k到n＝k＋1推导过程中利用放缩法，在利用放缩时，注意放缩的度.【自主解答】　(1)当n＝k＋1时左边的代数式是＋＋…＋＋，增加了两项与，但是少了一项，故不等式的左边增加的式子是＋－＝.

8、【答案】　(2)证明：①当n＝1时，左边＝1，右边＝2，左边<右边，不等式成立.②假设当n＝k(k≥1且k∈N＋)时，不等式成立，即1＋＋＋…＋<2.则当n＝k＋1时，1＋＋＋…＋＋<2＋＝<＝＝2.∴当n＝k＋1时，不等式成立.由①②可知，原不等