高中数学 3.2 简单的三角恒等变换学案 新人教A版必修.doc

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1、3．2　简单的三角恒等变换1．正确应用和差角公式、倍角公式进行化简、求值和证明．2．理解并掌握二倍角公式的变形式及其应用．一、利用二倍角公式推导半角公式(1)因为α是的二倍角，所以在二倍角公式cos2α＝1－2sin2α中，以α代替2α，以代替α，即cosα＝1－2sin2，所以sin2＝．(2)在二倍角公式cos2α＝2cos2α－1中，以α代替2α，以代替α，即cosα＝2cos2－1，所以cos2＝．(3)由(1)(2)中所得两式相除得tan2＝.综上，sin＝±_，cos＝±_，tan＝±_．上面的三个式子称为半角公式．

2、同样有tan＝＝．　　　　　　　　　　　　　　　　1．下列各式中恒成立的是(B)A．tan＝　　B．cos2＝C．tan＝±　　D．tan2α＝解析：A.tan＝不恒成立．恒成立的条件是sinα≠0，C．tan＝±不恒成立．恒成立的条件是cosα≠－1，D．tan2α＝不恒成立．恒成立的条件是tanα≠±1，B恒成立，故选B.二、和差化积与积化和差公式的推导由sin＝sinαcosβ＋cosαsinβ，sin＝sinαcosβ－cosαsinβ得sinαcosβ＝，①cosαsinβ＝．②由cos＝cosαcosβ－sinαsi

3、nβ，cos＝cosαcosβ＋sinαsinβ得cosαcosβ＝，③sinαsinβ＝－．④上面的公式①②③④统称为积化和差公式．上面四个式子中，设α＋β＝θ，α－β＝φ，则有α＝，β＝，把α，β代入上面的式子得到：sinθ＋sinφ＝2sincos，⑤sinθ－sinφ＝2cossin，⑥cosθ＋cosφ＝2coscos，⑦cosθ－cosφ＝－2sinsin．⑧上面的公式⑤⑥⑦⑧统称为和差化积公式．2．形如y＝asinx＋bcosx的函数如何进行变换？解析：y＝asinx＋bcosx＝，∵－1≤≤1，－1≤≤1，且＋＝

4、1，∴不妨设cosθ＝，sinθ＝，则有y＝asinx＋bcosx＝＝sin(θ＋x)．1．已知sinα＝，则sin4α－cos4α的值为(B)A．－　　　　B．－　　　　C.　　　　D.解析：原式＝sin2α－cos2α＝2sin2α－1＝－.故选B.2．函数f(x)＝2cos2x＋sin2x的最小值是1－．解析：f(x)＝cos2x＋sin2x＋1＝sin＋1，∴所求最小值为1－.3．若＝－，则cosα＋sinα的值为(C)A．－B．－C.D.解析：原式＝＝－(cosα＋sinα)＝－，∴cosα＋sinα＝.故选C.4．若

5、α∈(π，2π)，则等于(D)A．sinB．cosC．－sinD．－cos解析：∵α∈(π，2π)，∴∈，∴＝＝＝－cos.故选D.1．已知180°＜α＜360°，则cos＝(C)A.　　　　B.C．－D．－解析：∵90°＜＜180°，∴cos＝－.2．将函数y＝sin2x的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位，所得图象的函数解析式是(A)A．y＝2cos2xB．y＝2sin2xC．y＝1＋sinD．y＝cos2x解析：将函数y＝sin2x的图象向左平移个单位，得到函数y＝sin2，即y＝sin＝cos2x的图象，再向上平移1

6、个单位，所得图象的函数解析式为y＝1＋cos2x＝2cos2x，故选A.3．函数y＝sinsin的最小正周期T＝____________．解析：y＝cosx＝sinxcosx＋cos2x＝sin2x＋cos2x＋＝sin＋.∴T＝π.答案：π4．如果tan(α＋β)＝，tan＝，那么的值为(B)A.B.C.D.5．若sin＝，则cos＝(A)A．－B．－C.D.解析：cos＝－cos＝－cos＝－cos＝－＝－1＋2×＝－.故选A.6．函数y＝－sinx＋cosx在上的值域是___________________________

7、___________________________________________________________．答案：[0，]7.函数f(x)＝sinx－cosx(x∈[－π，0])的单调递增区间是(D)A.B.C.D.解析：f(x)＝2sin(x－)．x∈[－π，0]，∴x－∈，由x－∈得，x∈，∴f(x)的单调增区间是，故选D.8．设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，且有2sinBcosA＝sinAcosC＋cosAsinC.(1)求角A的大小；(2)若b＝2，c＝1，D为BC的中点，求AD的长．解

8、析：(1)A＋C＝π－B，A，B∈(0，π)⇒sin(A＋C)＝sinB＞02sinBcosA＝sinAcosC＋cosAsinC＝sin(A＋C)＝sinB⇔cosA＝⇔A＝.(2)设＝a，＝b，＝c，则

9、a

10、2＝a·a＝(b－c)·(b－c)＝b·b＋c·c