高中数学 2.4 逆变换与逆矩阵 2.4.1 逆矩阵的概念教学案 苏教版选修.doc

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1、2．4.1　逆矩阵的概念1．逆矩阵的定义对于二阶矩阵A、B，若有AB＝BA＝E，则称A是可逆的，B称为A的逆矩阵，记为A－1.2．逆矩阵的性质(1)若二阶矩阵A、B均可逆，则AB也可逆，且(AB)－1＝B－1A－1.(2)已知A、B、C为二阶矩阵且AB＝AC，若A存在逆矩阵，则B＝C.3．逆矩阵的求法(1)公式法：对于二阶矩阵A＝，若ad－bc≠0，则A必可逆，且A－1＝.(2)待定系数法．(3)逆变换法．逆矩阵的求法[例1]　　求矩阵A＝的逆矩阵．[思路点拨]　设出逆矩阵，利用待定系数法求解或直接利用公式法求解．[精解详析]　法一：待定系数法：设A

2、－1＝，则＝.即＝，故解得x＝－1，z＝2，y＝2，w＝－3，从而A的逆矩阵为A－1＝.法二：公式法：ad－bc＝3×1－2×2＝－1≠0，∴A－1＝.用待定系数法求逆矩阵时，先设出矩阵A的逆矩阵A－1，再由AA－1＝E得相等矩阵，最后利用相等矩阵的概念求出A－1.1．(江苏高考)已知矩阵A＝，B＝，求矩阵A－1B.解：设矩阵A的逆矩阵为，则＝，即＝故a＝－1，b＝0，c＝0，d＝，从而A的逆矩阵为A－1＝，所以A－1B＝＝.2．已知矩阵M＝所对应的线性变换把点A(x，y)变成点A′(13,5)，试求M的逆矩阵及点A的坐标．解：由M＝，得2×(－1)

3、－(－3)×1＝1≠0，故M－1＝.从而由＝得＝＝＝，故即A(2，－3)为所求．[例2]　用几何变换的观点求下列矩阵的逆矩阵．(1)A＝；(2)B＝.[思路点拨]　A为伸压变换矩阵，B为旋转变换矩阵，只需找到它们的逆变换，再写出逆变换对应的矩阵即为所求．[精解详析]　(1)矩阵A为伸压变换矩阵，它对应的几何变换为平面内点的纵坐标保持不变，横坐标沿x轴方向拉伸为原来2倍的伸缩变换，因此它存在逆变换TA－1：将平面内点的纵坐标保持不变，横坐标沿x轴方向压缩为原来的，所对应的变换矩阵为A－1＝.(2)矩阵B为旋转变换矩阵，它对应的几何变换为将平面内的点绕原

4、点顺时针旋转90°.它存在逆变换TB－1：将平面内的点绕原点逆时针旋转90°，所对应的变换矩阵为B－1＝.从几何角度考虑矩阵对应的变换是否存在逆变换，就是观察在变换下是否能“走过去又能走回来”，即对应的变换是一一映射．关键是熟练掌握反射变换、伸缩变换、旋转变换、切变变换等常用变换对应的矩阵，根据矩阵对应的几何变换找出其逆变换，再写出逆变换对应的矩阵，即为所求逆矩阵．3．已知矩阵A＝，求A－1.解：矩阵A对应的变换是旋转变换R240°，它的逆变换是R－240°∴A－1＝＝.4．已知矩阵A＝，求A－1.解：因矩阵A所对应的变换为伸缩变换，所以A－1＝.逆

5、矩阵的概念与性质的应用[例3]　若矩阵A＝，B＝，求矩阵AB的逆矩阵．[思路点拨]　根据公式(AB)－1＝B－1A－1，先求出B－1、A－1，再利用矩阵乘法求解．[精解详析]　因为矩阵A所对应的变换为伸缩变换，所以A－1＝.而矩阵B对应的变换为切变变换，其逆矩阵B－1＝，∴(AB)－1＝B－1A－1＝＝.(1)要避免犯如下错误(AB)－1＝A－1B－1.(2)此题也可以先求出AB再求其逆．5．已知A＝，求A－1.解：设M＝，N＝，则A＝MN.∵1×1－0×(－1)＝1≠0，∴M－1＝，同理N－1＝.由逆矩阵的性质，得A－1＝(MN)－1＝N－1M－1

6、＝＝.6．若矩阵A＝，B＝，求曲线x2＋y2＝1在矩阵(AB)－1变换下的曲线方程．解：(AB)－1＝B－1A－1＝＝.设P(x，y)是圆x2＋y2＝1上任意一点，P点在(AB)－1对应变换下变成Q(x′，y′)则＝＝.∴故∴P(x′＋2y′，y′)．又P点在圆上，∴(x′＋2y′)2＋(y′)2＝1.展开整理为(x′)2＋4x′y′＋5(y′)2＝1.故所求曲线方程为x2＋4xy＋5y2＝1.[例4]　已知矩阵A＝，B＝，C＝，求满足AXB＝C的矩阵X.[思路点拨]　由AXB＝C得X＝A－1CB－1，从而求解．[精解详析]　∵A－1＝，B－1＝，∴

7、X＝A－1CB－1＝＝＝.此种题型要特别注意左乘还是右乘相应的逆矩阵，若位置错误，则得不到正确结果，原因是矩阵乘法并不满足交换律．7．已知矩阵A＝.若矩阵X满足AX＝，试求矩阵X.解：设A－1＝，则＝，即＝，所以解得故所求的逆矩阵A－1＝.因为AX＝，所以A－1AX＝A－1，所以X＝A－1＝＝.8．若点A(2,2)在矩阵M＝对应变换的作用下得到的点为B(－2,2)，求矩阵M的逆矩阵．解：因为M＝，即＝，所以解得所以M＝.法一：由M＝＝，知M是绕原点O逆时针旋转90°的旋转变换矩阵，于是M－1＝＝.法二：由M＝，则ad－bc＝1≠0.∴M－1＝.1．求

8、下列矩阵的逆矩阵．(1)A＝；(2)B＝.解：法一：利用逆矩阵公式．(1)注意到1×3－2×1＝1≠0，故A