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时间:2020-07-02
《高三数学大一轮复习 不等式选讲学案 理 新人教A版 .doc》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、学案76 不等式选讲(一)绝对值不等式导学目标:1.理解绝对值的几何意义,并能利用含绝对值不等式的几何意义证明以下不等式:(1)
2、a+b
3、≤
4、a
5、+
6、b
7、,(2)
8、a-b
9、≤
10、a-c
11、+
12、c-b
13、.2.会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式:
14、ax+b
15、≤c;
16、ax+b
17、≥c;
18、x-a
19、+
20、x-b
21、≥c.自主梳理1.含________________的不等式叫做绝对值不等式.2.解含有绝对值的不等式的方法关键是去掉绝对值符号,基本方法有如下几种:(1)分段讨论:根据
22、f(x)
23、=去掉绝对值符号.(2)利用等价不等式:
24、f(x)
25、≤g(x)⇔-g(x)≤f(x)≤g(x);
26、f(x)
27、
28、≥g(x)⇔f(x)≤-g(x)或f(x)≥g(x).(3)两端同时平方:即运用移项法则,使不等式两边都变为非负数,再平方,从而去掉绝对值符号.3.形如
29、x-a
30、+
31、x-b
32、≥c(a≠b)与
33、x-a
34、+
35、x-b
36、≤c(a≠b)的绝对值不等式的解法主要有三种:(1)运用绝对值的几何意义;(2)____________________;(3)构造分段函数,结合函数图象求解.4.(1)定理:如果a,b,c是实数,则
37、a-c
38、≤
39、a-b
40、+
41、b-c
42、,当且仅当____________时,等号成立.(2)重要绝对值不等式
43、
44、a
45、-
46、b
47、
48、≤
49、a±b
50、≤
51、a
52、+
53、b
54、.使用时(特别是求最值时)要注意
55、等号成立的条件,即
56、a+b
57、=
58、a
59、+
60、b
61、⇔ab≥0;
62、a-b
63、=
64、a
65、+
66、b
67、⇔ab≤0;
68、a
69、-
70、b
71、=
72、a+b
73、⇔b(a+b)≤0;
74、a
75、-
76、b
77、=
78、a-b
79、⇔b(a-b)≥0;注:
80、a
81、-
82、b
83、=
84、a+b
85、⇔
86、a
87、=
88、a+b
89、+
90、b
91、⇔
92、(a+b)-b
93、=
94、a+b
95、+
96、b
97、⇔b(a+b)≤0.同理可得
98、a
99、-
100、b
101、=
102、a-b
103、⇔b(a-b)≥0.自我检测1.(2010·江西)不等式>的解集是( )A.(0,2)B.(-∞,0)C.(2,+∞)D.(-∞,0)∪(0,+∞)2.(2011·天津)已知集合A={x∈R
104、
105、x+3
106、+
107、x-4
108、≤9},B={x∈R
109、x=4t+-6,t
110、∈(0,+∞)},则集合A∩B=________.3.(2011·潍坊模拟)已知不等式
111、x+2
112、+
113、x-3
114、≤a的解集不是空集,则实数a的取值范围是( )A.a<5B.a≤5C.a>5D.a≥54.若不等式
115、x+1
116、+
117、x-2
118、119、2x-1120、<121、x122、+1.探究点一 解绝对值不等式例1解下列不等式:(1)1<123、x-2124、≤3;(2)125、2x+5126、>7+x;(3)127、x-1128、+129、2x+1130、<2.变式迁移1(2011·江苏)解不等式x+131、2x-1132、<3.探究点二 绝对值不等式的恒成立问题例2 (2011·商丘模拟)已知不等133、式134、x+2135、-136、x+3137、>m.(1)若不等式有解;(2)若不等式解集为R;(3)若不等式解集为∅.分别求出实数m的取值范围.变式迁移2 设函数f(x)=138、x-1139、+140、x-2141、,若f(x)>a对x∈R恒成立,求实数a的取值范围.探究点三 绝对值三角不等式定理的应用例3 “142、x-A143、<,且144、y-A145、<”是“146、x-y147、<ε”(x,y,A,ε∈R)的( )A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件变式迁移3 (1)求函数y=148、x+2149、-150、x-2151、的最大值;(2)求函数y=152、x-3153、+154、x+2155、的最小值.转化与化归思想的应用例 (10分)设a∈R,函数f(156、x)=ax2+x-a(-1≤x≤1),(1)若157、a158、≤1,求证:159、f(x)160、≤;(2)求a的值,使函数f(x)有最大值.多角度审题 第(1)问161、f(x)162、≤⇔-≤f(x)≤,因此证明方法有两种,一是利用放缩法直接证出163、f(x)164、≤;二是证明-≤f(x)≤亦可.第(2)问实质上是已知f(x)的最大值为,求a的值.由于x∈[-1,1],f(x)是关于x的二次函数,那么就需判断对称轴对应的x值在不在区间[-1,1]上.【答题模板】证明 (1)方法一 ∵-1≤x≤1,∴165、x166、≤1.又∵167、a168、≤1,∴169、f(x)170、=171、a(x2-1)+x172、≤173、a(x2-1)174、+175、x176、≤177、x2-1178、+179、x180、=1-181、x182、183、2+184、x185、=-2+≤.[3分]∴若186、a187、≤1,则188、f(x)189、≤.[5分]方法二 设g(a)=f(x)=ax2+x-a=(x2-1)a+x.∵-1≤x≤1,∴当x=±1,即x2-1=0时,190、f(x)191、=192、g(a)193、=1≤;[1分]当-1194、a195、≤1,∴-1≤a≤1,∴g(a)max=g(-1)=-x2+x+1=-2+;[3分]g(a)min=g(1)=x2+
119、2x-1
120、<
121、x
122、+1.探究点一 解绝对值不等式例1解下列不等式:(1)1<
123、x-2
124、≤3;(2)
125、2x+5
126、>7+x;(3)
127、x-1
128、+
129、2x+1
130、<2.变式迁移1(2011·江苏)解不等式x+
131、2x-1
132、<3.探究点二 绝对值不等式的恒成立问题例2 (2011·商丘模拟)已知不等
133、式
134、x+2
135、-
136、x+3
137、>m.(1)若不等式有解;(2)若不等式解集为R;(3)若不等式解集为∅.分别求出实数m的取值范围.变式迁移2 设函数f(x)=
138、x-1
139、+
140、x-2
141、,若f(x)>a对x∈R恒成立,求实数a的取值范围.探究点三 绝对值三角不等式定理的应用例3 “
142、x-A
143、<,且
144、y-A
145、<”是“
146、x-y
147、<ε”(x,y,A,ε∈R)的( )A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件变式迁移3 (1)求函数y=
148、x+2
149、-
150、x-2
151、的最大值;(2)求函数y=
152、x-3
153、+
154、x+2
155、的最小值.转化与化归思想的应用例 (10分)设a∈R,函数f(
156、x)=ax2+x-a(-1≤x≤1),(1)若
157、a
158、≤1,求证:
159、f(x)
160、≤;(2)求a的值,使函数f(x)有最大值.多角度审题 第(1)问
161、f(x)
162、≤⇔-≤f(x)≤,因此证明方法有两种,一是利用放缩法直接证出
163、f(x)
164、≤;二是证明-≤f(x)≤亦可.第(2)问实质上是已知f(x)的最大值为,求a的值.由于x∈[-1,1],f(x)是关于x的二次函数,那么就需判断对称轴对应的x值在不在区间[-1,1]上.【答题模板】证明 (1)方法一 ∵-1≤x≤1,∴
165、x
166、≤1.又∵
167、a
168、≤1,∴
169、f(x)
170、=
171、a(x2-1)+x
172、≤
173、a(x2-1)
174、+
175、x
176、≤
177、x2-1
178、+
179、x
180、=1-
181、x
182、
183、2+
184、x
185、=-2+≤.[3分]∴若
186、a
187、≤1,则
188、f(x)
189、≤.[5分]方法二 设g(a)=f(x)=ax2+x-a=(x2-1)a+x.∵-1≤x≤1,∴当x=±1,即x2-1=0时,
190、f(x)
191、=
192、g(a)
193、=1≤;[1分]当-1194、a195、≤1,∴-1≤a≤1,∴g(a)max=g(-1)=-x2+x+1=-2+;[3分]g(a)min=g(1)=x2+
194、a
195、≤1,∴-1≤a≤1,∴g(a)max=g(-1)=-x2+x+1=-2+;[3分]g(a)min=g(1)=x2+
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