高三数学一轮复习讲义 等比数列及其前n项和 新人教A版.doc

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1、等比数列及其前n项和要点自主梳理1.等比数列的定义如果一个数列__________________________，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的________，通常用字母______表示(q≠0)．从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数(不为零)　公比　q从等比数列的定义看，等比数列的任意项都是非零的，公比q也是非零常数.2.等比数列的通项公式设等比数列{an}的首项为a1，公比为q，则它的通项an＝______________..a1·qn－13.等比中项3．等比中项：如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项．

2、G2＝a·b(ab≠0)4.等比数列的常用性质(1)通项公式的推广：an＝am·____________，(n，m∈N*).qn－m(2)若{an}为等比数列，且k＋l＝m＋n，(k，l，m，n∈N*)，则____ak·al＝am·an_____.(3)若{an}，{bn}(项数相同)是等比数列，则{λan}(λ≠0)，，{a}，{an·bn}，仍是等比数列.(4)单调性：或⇔{an}是________数列；递增或⇔{an}是________数列；递减q＝1⇔{an}是__常__数列；q<0⇔{an}是__摆动______数列．5.等比数列的前n项和公式等比数列{an}的公比为q(

3、q≠0)，其前n项和为Sn，当q＝1时，Sn＝na1；当q≠1时，Sn＝＝.6.等比数列前n项和的性质公比不为－1的等比数列{an}的前n项和为Sn，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等比数列，其公比为________.qn7．等差数列与等比数列的关系是：(1)若一个数列既是等差数列，又是等比数列，则此数列是非零常数列；(2)若{an}是等比数列，且an>0，则{lgan}构成等差数列．8．思想与方法：(1)等比数列的判定方法：①定义：＝q(q是不为零的常数，n∈N*)⇔{an}是等比数列.②等比中项法：a＝an·an＋2(an·an＋1·an＋2≠0，n∈N*)⇔{an}是

4、等比数列.③通项公式：an＝cqn－1(c、q均是不为零的常数，n∈N*)⇔{an}是等比数列.(2)等比数列的前n项和Sn是用错位相减法求得的，注意这种方法在数列求和中的运用.(3)在利用等比数列前n项和公式时，如果不确定q与1的关系，一般要用分类讨论的思想，分公比q＝1和q≠1两种情况；计算等比数列前n项和过程中要注意整体代入的思想方法．常把qn，当成整体求解．(4)等比数列的通项公式an＝a1qn－1及前n项和公式Sn＝＝(q≠1)共涉及五个量a1，an，q，n，Sn，知三求二，体现了方程的思想的应用.(5)揭示等比数列的特征及基本量之间的关系.利用函数、方程的观点和方法，讨

5、论单调性时，要特别注意首项和公比的大小.基础自测1．“b＝”是“a、b、c成等比数列”的(　　)A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件2．若数列{an}的前n项和Sn＝3n－a，数列{an}为等比数列，则实数a的值是(　　)A．3B．1C．0D．－13．已知等比数列{an}的前三项依次为a－2，a＋2，a＋8，则an等于(　　)A．8·nB．8·nC．8·n－1D．8·n－14.在等比数列{an}中，an>0，a2a4＋2a3a5＋a4a6＝25，则a3＋a5的值为________.55.在等比数列{an}中，a1＋a2＝30，a3＋a4＝60，则

6、a7＋a8＝___240　_____.6.在等比数列{an}中，前n项和为Sn，若S3＝7，S6＝63，则公比q的值是(　　)　A.2B.－2C.3D.－3题型一　等比数列的基本量的运算例1　(1)在等比数列{an}中，已知a6－a4＝24，a3a5＝64，求{an}的前8项和S8；(2)设等比数列{an}的公比为q(q>0)，它的前n项和为40，前2n项和为3280，且前n项中数值最大的项为27，求数列的第2n项.解　(1)设数列{an}的公比为q，由通项公式an＝a1qn－1及已知条件得：由②得a1q3＝±8.将a1q3＝－8代入①式，得q2＝－2，无解，故舍去.将a1q3＝8

7、代入①式，得q2＝4，∴q＝±2.当q＝2时，a1＝1，∴S8＝＝255；当q＝－2时，a1＝－1，∴S8＝＝85.(2)若q＝1，则na1＝40,2na1＝3280，矛盾.∴q≠1，∴得：1＋qn＝82，∴qn＝81，③将③代入①得q＝1＋2a1.④又∵q>0，∴q>1，∴a1>0，{an}为递增数列.∴an＝a1qn－1＝27，⑤由③、④、⑤得q＝3，a1＝1，n＝4.∴a2n＝a8＝1×37＝2187.探究提高　(1)对于等比数列的有关计算问题，可类比等差数列问