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1、.均值不等式练习题及答案解析一．均值不等式1.若a,b?R，则a2?b2?2ab若a,b?R，则ab2.若a,b?R*，则a?b2?*?a?b222a?b时取“=”）ab若a,b?R，则a?b?22aba?b?若a,b?R，则ab??）???2a?b2注：当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”．求最值的条件“一正，二定，三取等”..均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用．应用一：求最值
2、例1：求下列函数的值域y＝3x解：y＝3x＋11y＝x＋xx13x＝∴值域为[，+∞）2x1x·＝2；x1x·=－2x1≥22x1当x＞0时，y＝x＋≥x11当x＜0时，y＝x＋=－≤－2xx∴值域为解题技巧：技巧一：凑项例1：已知x?..54，求函数y?4x?2?14x?5的最大值。1解：因4x?5?0，所以首先要“调整”符号，又?x?54,?5?4x?0，?y?4x?2?14x?5不是常数，所以对4x?2要进行拆、凑项，???2?3?1??3?1????5?4x?4x?55?4x?当且仅当5?4x?15?4x，即x
3、?1时，上式等号成立，故当x?1时，ymax?1。评注：本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值。技巧二：凑系数..例1.当时，求y?x的最大值。解析：由知，，利用均值不等式求最值，必须和为定值或积为定值，此题为两个式子积的形式，但其和不是定值。注意到2x??8为定值，故只需将y?x凑上一个系数即可。当，即x＝2时取等号当x＝2时，y?x的最大值为8。32评注：本题无法直接运用均值不等式求解，但凑系数后可得到和为定值，从而可利用均值不等式求最大值。变式：设0?x?，求函数y?4x的最大值。322x?3?2x
4、?9解：∵0?x?∴3?2x?0∴y?4x?2?2x?2????222??当且仅当2x?3?2x,即x?3?3???0,?时等号成立。?2?技巧三：分离例3.求y?..的值域。x?1解析一：本题看似无法运用均值不等式，不妨将分子配方凑出含有的项，再将其分离。x?7x?102当,即时,y?5?9。技巧四：换元解析二：本题看似无法运用均值不等式，可先换元，令t=x＋1，化简原式在分离求最值。y??7?g恒正或恒负的形式，然后运用均值不等式来求最值。?B，g当,即t=时,y?技巧五：注意：在应用最值定理求最值时，若遇等号取不
5、到的情况，应结合函数f?x?2ax的单调性。..例：求函数y?的值域。解：令?t，则y?1t2??t?1t因t?0,t??1，但t?因为y?t?1t1t解得t??1不在区间?2,???，故等号不成立，考虑单调性。52在区间?1,???单调递增，所以在其子区间?2,???为单调递增函数，故y??5??。所以，所求函数的值域为?,???。?2练习．求下列函数的最小值，并求取得最小值时，x的..值.y?x?3x?1x2,y?2x?1x?3,x?y?2sinx?231sinx,x?2．已知0?x?1，求函数y?条件求最值的最大
6、值.；3．0?x?，求函数y?.1.若实数满足a?b?2，则3a?3b的最小值是分析：“和”到“积”是一个缩小的过程，而且3a?3b定值，因此考虑利用均值定理求最小值，解：a和3b都是正数，3a?3b≥23?3?23aba?b?6..当3a?3b时等号成立，由a?b?2及3a?3b得a?b?1即当a?b?1时，3a?3b的最小值是6．变式：若log4x?log4y?2，求1x?1y的最小值.并求x,y的值技巧六：整体代换：多次连用最值定理求最值时，要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错。。：已知x?0,y?0，且1x
7、?1x9y9y?1，求x?y的最小值。?1?x9???x?y??y?错解：?x?0,y?0，且．．?..?1，?x?y????1故?x?y?min9y?1。错因：解法中两次连用均值不等式，在x?y?x?y，在1x??条件是1x?9y即y?9x,取等号的条件的不一致，产生错误。因此，在利用均值不等式处理问题时，列出等号成立条件是解题的必要步骤，而且是检验转换是否有误的一种方法。正解：?x?0,y?0,1x?9?19?y9x?10?6?10?1?1，?x?y??x?y??????xyxyy??当且仅当..yx?9xy时，上
8、式等号成立，又?1x?9y?1，可得x?4,y?12时，?x?y?min?1。1y变式：若x,y?R且2x?y?1，求1x?的最小值?已知a,b,x,y?R且a?b?1，求x?y的最小值xyy2技巧七、已知x，y为正实数，且x＋＝1，求＋y的最大值.2a＋b..分析：因条件和结论分别是二次和一次，故采用公式ab≤。2221＋y中y
