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1、精品文档均值不等式练习题及答案均值不等式又名基本不等式、均值定理、重要不等式。是求范围问题最有利的工具之一，在形式上均值不等式比较简单，但是其变化多样、使用灵活。尤其要注意它的使用条件。a2?b21.若a,b?R，则a?b?2ab若a,b?R，则ab?222.若a,b?R，则时取“=”）*a?b?ab2若a,b?R，则a?b?*2ab???2?*a?ba2?b2?ab??3.均值不等式链：若a、b都是正数，则，当且仅当a?b22?ab2时等号成立。平均数）一、基本技巧技巧1：凑项例已知x?技巧2：分离配凑4，求函数y?4x?2?1的最大值
2、。x?5x2?7x?10的值域。例求y?x?1技巧3：利用函数单调性2016全新精品资料-全新公文范文-全程指导写作–独家原创24/24精品文档例求函数y?2的值域。技巧4：整体代换例已知x?0,y?0，且19??1，求x?y的最小值。xy典型例题1.若正实数X，Y满足2X+Y+6=XY，则XY的最小值是?a?b?22.已知x＞0,y＞0，x,a,b,y成等差数列，x,c,d,y成等比数列，则的最小值cd是A.0B.1C.D.23.若不等式x+ax+4≥0对一切x∈平分圆x2+y2-2x-4y-6=0，则2+1的最小值是abA.1B.C.
3、4D.3+225.已知x>0,y>0，x+2y+3xy=8,则x+2y的最小值是.6.已知x,y?R?，且满足xy??1，则xy的最大值为34ab11?的最小值为ab1ABC1D7.设a?0,b?0.3与3的等比中项，则8.若正数x，y满足x+3y=5xy，则3x+4y的最小值是A.428B.2016全新精品资料-全新公文范文-全程指导写作–独家原创24/24精品文档C.D.659.若a?0,b?0,a?b?2，则下列不等式对一切满足条件的a,b恒成立的是．①ab?1；②；③a2?b2?2；④a3?b3?3；⑤11??ab210.设a＞b
4、＞0，则a?11?的最小值是abaa?b123411.下列命题中正确的是12A、y?x?的最小值是B、y?的最小值是xC、y?2?3x?4x的最大值是2?D值是2?12.若x?2y?1，则2x?4y的最小值是______、y?2?3x?4x的最小均值不等式应用一．均值不等式1.若a,b?R，则a2?b2?2ab若a,b?R，则ab2.若a,b?R*，则a?b2?*?a?b22016全新精品资料-全新公文范文-全程指导写作–独家原创24/24精品文档22a?b时取“=”）ab若a,b?R，则a?b?22aba?b?若a,b?R，则ab??）
5、???2a?b2注：当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”．求最值的条件“一正，二定，三取等”均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用．应用一：求最值例1：求下列函数的值域y＝3x解：y＝3x＋11y＝x＋xx13x＝∴值域为[，+∞）2x2016全新精品资料-全新公文范文-全程指导写作–独家原创24/24精品文档1x·＝2；x1x·=－2x1≥22x1当x＞0时，y＝x＋≥x11当x＜0时，y＝x＋=－
6、≤－2xx∴值域为解题技巧：技巧一：凑项例1：已知x?54，求函数y?4x?2?14x?5的最大值。1解：因4x?5?0，所以首先要“调整”符号，又?x?542016全新精品资料-全新公文范文-全程指导写作–独家原创24/24精品文档,?5?4x?0，?y?4x?2?14x?5不是常数，所以对4x?2要进行拆、凑项，???2?3?1??3?1????5?4x?4x?55?4x?当且仅当5?4x?15?4x，即x?1时，上式等号成立，故当x?1时，ymax?1。评注：本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值。技巧二：凑系数例1.
7、当时，求y?x的最大值。解析：由知，，利用均值不等式求最值，必须和为定值或积为定值，此题为两个式子积的形式，但其和不是定值。注意到2x??8为定值，故只需将y?x凑上一个系数即可。当，即x＝2时取等号当x＝2时，y?x的最大值为8。322016全新精品资料-全新公文范文-全程指导写作–独家原创24/24精品文档评注：本题无法直接运用均值不等式求解，但凑系数后可得到和为定值，从而可利用均值不等式求最大值。变式：设0?x?，求函数y?4x的最大值。322x?3?2x?9解：∵0?x?∴3?2x?0∴y?4x?2?2x?2????222??当且
8、仅当2x?3?2x,即x?3?3???0,?时等号成立。?2?技巧三：分离例3.求y?的值域。x?1解析一：本题看似无法运用均值不等式，不妨将分子配方凑出含有的项，再将其分离。x?7x?102
