小学五年级奥数教案：几何计数(讲师版).pdf

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1、学科培优数学“几何计数”学生姓名授课日期教师姓名授课时长知识定位在数学竞赛试题中，经常出现一些几何计数问题，所谓几何计数是指计算满足一定条件的图形的个数．它的内容比较新颖有趣，为了准确计数，必须要有一套计数的方法，否则越数头绪越杂乱，很难得出准确的结果．本讲将较系统地介绍初中数学中所使用的一些计数方法．学习计数方法不仅仅使我们获得一定的数学知识和方法，更重要的是使我们感受到数学中的一些重要思想的运用，如数形结合思想、分类讨论思想和转化的思想，分类讨论思想在这里尤其突出，我们所使用的所有计数方法都离不开分类．知识梳理一、数线段如果一条线段上有n+1个点(包括两个端点)（或含有n个“基本线段

2、”），那么这n+1个点把这条线段一共分成的线段总数为n+(n-1)+…+2+1条二、数角数角与数线段相似，线段图形中的点类似于角图形中的边。以OA为一条边的角有：ED∠AOB∠AOC∠AOD∠AOE共4个C同样还有：∠BOC，∠BOD，∠BOE共3个B∠COD，∠COE共2个A∠DOE共1个合计有4+3+2+1=10（个）三、数三角形可用数线段的方法数如图所示的三角形（对应法）因为DE上有15条线段，每条线段的两端点与点A相连，可构成一个三角形，共有15个三角形，同样一边在BC上的三角形也有15个，所以图中共有30个三角形。四、数长方形、平行四边形和正方形AMDEPFGQHBMC线段AM

3、与AE对应着长方形AMPE，AM与AG对应着长方形AMQG，AM与AB对应着长方形AMNBAM与EG对应着长方形EPQG,AM与EB对应着长方形EPNB,AM与GB对应着长方形GQNB.就是说AM与AB边的6条线段都分别对应着一个长方形，共6个长方形AD边上共有3条线段，其余两条线段AD和MD也都分别对应着6个长方形，所以共有3×6=18个长方形一般的，类似于这样的长方形（平行四边形），若其横边上共有n条线段，纵边上共有m条线段，则图中共有长方形（平行四边形）mn个五、染色问题在数学竞赛中很多问题要进行分类讨论，对所研究的对象进行“染色”，“染色”实质上是分类的一种形象化的表示，利用“染

4、色”，可以将题中某些隐蔽的条件暴露出来，从而使问题得到简明的解答。六、图形计数，方阵计数这类问题大多比较困难。图形计数包括，圆，三角，直线，平面分割，等之间的互相交叉题型。而方阵计数，棋盘中计数是现在考试的热点。几个计算公式总结：1．线段、角的计数公式：2．长方形、平行四边形的计数公式：横边上共有n条线段，纵边上共有m条线段，则图中共有长方形（平行四边形）mn个3．正方形的计数公式：如果一横行有m个小正方形，一竖行有n个（假设m≥n）小正方形，那么图中正方形的个数是mn+(m–1)(n–1)+…+(m–n+1)(n–n+1)=mn+(m–1)(n–1)+…+(m–n+1)例题精讲【试题来

5、源】【题目】图中共有多少个长方形？【答案】100【解析】利用长方形的计数公式：横边上共有n条线段，纵边上共有m条线段，则图中共有长方形（平行四边形）mn个所以有(4+3+2+1)×（4+3+2+1）=100【知识点】几何计数【适用场合】当堂例题【难度系数】1【试题来源】【题目】从A到F一共有多少种不同走法？ABCDEF【答案】9【解析】经过AB到F的有3种爬法经过AE到F的有3种爬法经过AD到F的有3种爬法，所以共9种爬法【知识点】几何计数【适用场合】当堂例题【难度系数】1【试题来源】【题目】用3根等长的火柴可以摆成一个等边三角形．如图用这样的等边三角形拼合成一个更大的等边三角形.如果这

6、个大等边三角形的每边由20根火柴组成，那么一共要用多少根火柴?【答案】630【解析】把大的等边三角形分为“20”层分别计算火柴的根数：最上一层只用了3根火柴；从上向下数第二层用了3×2=6根；从上向下数第二层用了3×3=9根；……从上向下数第二层用了3×20=60根；所以总共要用火柴3×（1+2+3+……+20）=630【知识点】几何计数【适用场合】当堂例题【难度系数】1【试题来源】【题目】如图19—2，用长短相同的火柴棍摆成3×1996的方格网，其中每个小方格的边都由一根火柴棍组成，那么一共需用多少根火柴棍?【答案】13975【解析】横放需1996×4根，竖放需1997×3根共需199

7、6×4+1997×3=13975根【知识点】几何计数【适用场合】当堂例题【难度系数】2【试题来源】【题目】如图，其中的每条线段都是水平的或竖直的，边界上各条线段的长度依次为5厘米、7厘米、9厘米、2厘米和4厘米、6厘米、5厘米、1厘米．求图中长方形的个数，以及所有长方形面积的和．【答案】10664【解析】利用长方形的计数公式：横边上共有n条线段，纵边上共有m条线段，则图中共有长方形（平行四边形）mn个所以有(4+3+2+1)×（4+