2012高考数学热点集中营 热点21 函数大题 新课标.doc

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1、【两年真题重温】【2011新课标全国理，21】已知函数，曲线在点处的切线方程为．(Ⅰ)求，的值；(Ⅱ)如果当，且时，，求的取值范围．故当时，，可得，与题设矛盾．（iii）设，此时，而，故当时，，得，与题设矛盾．综合得，的取值范围为．【评注】本题的困难是第二问的不等式问题，通过作差f(x)－＝＋－－后，通过适当的变换把其变换为，其目的就是为了分0143用心爱心专心故:当时，，可得；（I）时，，.当时，；当时，.故在43用心爱心专心单调减少，在单调递增.【命题意图猜想】从近几年的高考试题来看，利用导数来研究函数的单调性和极值问题已成为炙手可热的考点，既有小题，也有解答题，小

2、题主要考查利用导数研究函数的单调性和极值，解答题主要考查导数与函数单调性，或方程、不等式的综合应用．预测2012年高考仍将以利用导数研究函数的单调性与极值为主要考向．43用心爱心专心【回归课本整合】导数的定义：设函数在处附近有定义，当自变量在处有增量时，则函数相应地有增量，如果时，与的比（也叫函数的平均变化率）有极限即无限趋近于某个常数，我们把这个极限值叫做函数在处的导数，记作，即.注意：在定义式中，设，则，当趋近于时，趋近于，因此，导数的定义式可写成.43用心爱心专心6.复合函数的导数：设函数在点处有导数，函数在点的对应点处有导数，则复合函数在点x处也有导数，且或7.导数与函数的单

3、调性函数在某个区间内有导数，如果，那么函数在这个区间上是增函数,该区间是函数的增区间；若，那么函数在这个区间上是减函数，该区间是函数的减区间.2.利用导数研究多项式函数单调性的一般步骤:求;确定在内符号;若在上恒成立，则在上是增函数；若在上恒成立，则在上是减函数43用心爱心专心注意：在开区间内连续的函数不一定有最大值与最小值．如函数在内连续，但没有最大值与最小值；函数的最值是比较整个定义域内的函数值得出的；函数的极值是比较极值点附近函数值得出的．函数在闭区间上连续，是在闭区间上有最大值与最小值的充分条件而非必要条件．函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止

4、一个，也可能没有一个.10.利用导数求函数的最值步骤:由上面函数的图象可以看出，只要把连续函数所有的极值与定义区间端点的函数值进行比较，就可以得出函数的最值了．设函数在上连续，在内可导，则求43用心爱心专心在上的最大值与最小值的步骤如下：求在内的极值；将的各极值与、比较得出函数在上的最值p【方法技巧提炼】y－y=f,再根据题意求出切点.例1已知曲线C：，则经过点的曲线C的切线方程是.解析：设经过点P（1，2）的直线与曲线C相切于点，则由，得在点处的斜率，有在点处的切线的方程为.又因为点与点P（1，2）均在曲线C上，有，消去得，解得或，于是或，所以所求切线方程为或.点评：此题常见的错解

5、：由，得，所以所求的切线方程为，即.错因是此处所求的切线只说经过P点，而没说P点一定是切点，于是切线的斜率与不一定相等.比如（如图）当时，正弦曲线在点P处的切线只有一条：；而经过点P的切线却有两条：与.43用心爱心专心【名师点评】　本题考查了利用导数求函数极值及单调性问题，考生失误在于：一是求导后不会因式分解成积的形式，二是由(*)式确定a的范围不会或忽略分类讨论．3.利用导数，如何解决函数与不等式大题43用心爱心专心在高考题的大题中，每年都要设计一道函数大题.在函数的解答题中有一类是研究不等式或是研究方程根的情况，基本的题目类型是研究在一个区间上恒成立的不等式(实际上就是证明这个不

6、等式)，研究不等式在一个区间上成立时不等式的某个参数的取值范围，研究含有指数式、对数式、三角函数式等超越式的方程在某个区间上的根的个数等，这些问题依据基础初等函数的知识已经无能为力，就需要根据导数的方法进行解决．使用导数的方法研究不等式和方程的基本思路是构造函数，通过导数的方法研究这个函数的单调性、极值和特殊点的函数值，根据函数的性质推断不等式成立的情况以及方程实根的个数．因为导数的引入，为函数问题的解决提供了操作工具.因此入手大家比较清楚，但是深入解决函数与不等式相结合的题目时，往往一筹莫展.原因是找不到两者的结合点，不清楚解决技巧.解题技巧总结如下（1）当时，令，得.当时，，在单

7、调递增；当时，，在单调递减，在处取得极大值.由于所以，解得即当且仅当时恒成立.综上，所求的值为1.(Ⅱ)等价于下面证明这个不等式成立.由(Ⅰ)可知.则43用心爱心专心【点评】第一问利用分类讨论思想，关键在于对的讨论；借助第一问的结论，为第二问证明不等式提供服务，通过恒成立，得到不等式，是解决问题的关键.所以同学们必须清楚出题者的命题思路，树立第一问为第二问的服务意识.【新题预测演练】1.【2012年河北省普通高考模拟考试】（理）已知函数．（Ⅰ）当时，求函数