【走向高考】（2013春季发行）高三数学第一轮总复习 3-2利用导数研究函数的性质 新人教A版.doc

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1、3-2利用导数研究函数的性质基础巩固强化1.给出定义：若函数f(x)在D上可导，即f′(x)存在，且导函数f′(x)在D上也可导，则称f(x)在D上存在二阶导函数，记f″(x)＝(f′(x))′，若f″(x)>0在D上恒成立，则称f(x)在D上为凹函数，以下四个函数在(0，)上是凹函数的是(　　)A．f(x)＝sinx＋cosx　　　B．f(x)＝lnx－2xC．f(x)＝－x3＋2x＋1D．f(x)＝－xe－x[答案]　D[解析]　(1)若f(x)＝sinx＋cosx，则f′(x)＝cosx－si

2、nx，f″(x)＝－sinx－cosx，∴f″(x)>0在(0，)上不成立；(2)若f(x)＝lnx－2x，则f′(x)＝－2，f″(x)＝－，f″(x)>0在(0，)上不成立；(3)若f(x)＝－x3＋2x＋1，则f′(x)＝－3x2＋2，f″(x)＝－6x，f″(x)>0在(0，)上不成立；(4)若f(x)＝－xe－x，则f′(x)＝(x－1)e－x，f″(x)＝(2－x)e－x，当x∈(0，)时，f″(x)>0恒成立，故选D.2．(2013·济南外国语学校第一学期质检)若a>0，b>0，且函数

3、f(x)＝4x3－ax2－2bx－2在x＝1处有极值，则ab的最大值为(　　)A．2　　　　B．3　　　　C．6　　　　D．9[答案]　D[解析]　函数的导数为f′(x)＝12x2－2ax－2b，函数在x＝1处有极值，则有f′(1)＝12－2a－2b＝0，即a＋b＝6，所以6＝a＋b≥2，即ab≤9，当且仅当a＝b＝3时取等号，选D.3．(文)(2011·宿州模拟)已知y＝f(x)是定义在R上的函数，且f(1)＝1，f′(x)>1，则f(x)>x的解集是(　　)A．(0,1)B．(－1,0)∪(0,

4、1)C．(1，＋∞)D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)[答案]　C[解析]　令F(x)＝f(x)－x，则F′(x)＝f′(x)－1>0，所以F(x)是增函数，∵f(x)>x，∴F(x)>0，∵F(1)＝f(1)－1＝0，∴F(x)>F(1)，∵F(x)是增函数，∴x>1，即f(x)>x15的解集是(1，＋∞)．(理)(2011·辽宁文)函数f(x)的定义域为R，f(－1)＝2，对任意x∈R，f′(x)>2，则f(x)>2x＋4的解集为(　　)A．(－1,1)B．(－1，＋∞)C．(－∞，－1)D．(－

5、∞，＋∞)[答案]　B[解析]　由题意，令φ(x)＝f(x)－2x－4，则φ′(x)＝f′(x)－2>0.∴φ(x)在R上是增函数．又φ(－1)＝f(－1)－2×(－1)－4＝0，∴当x>－1时，φ(x)>φ(－1)＝0，∴f(x)－2x－4>0，∴f(x)>2x＋4.故选B.4．(文)设函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx在x＝±1处均有极值，且f(－1)＝－1，则a、b、c的值为(　　)A．a＝－，b＝0，c＝－B．a＝，b＝0，c＝－C．a＝－，b＝0，c＝D．a＝，b＝0，c＝[答案]　C[解

6、析]　f′(x)＝3ax2＋2bx＋c，所以由题意得即解得a＝－，b＝0，c＝.(理)(2012·潍坊模拟)已知非零向量a，b满足

7、a

8、＝

9、b

10、，若函数f(x)＝x3＋

11、a

12、x2＋2a·bx＋1在R上有极值，则〈a，b〉的取值范围是(　　)A．[0，]B．(0，]C．(，]D．(，π][答案]　D[解析]　据题意知，f′(x)＝x2＋2

13、a

14、x＋2a·b，若函数存在极值，必有(2

15、a

16、)215－4×2a·b>0，整理可得

17、a

18、2>2a·b，故cos〈a，b〉＝<＝，解得<〈a，b〉≤π.5．函数y＝

19、f(x)的图象如图所示，则y＝f′(x)的图象可能是(　　)[答案]　D[解析]　由f(x)的图象知，f(x)在(－∞，0)上单调递增，在(0，＋∞)上单调递减，∴在(0，＋∞)上f′(x)≤0，在(－∞，0)上f′(x)≥0，故选D.6．(2011·陕西咸阳模拟)已知函数f(x)＝ax2－1的图象在点A(1，f(1))处的切线l与直线8x－y＋2＝0平行，若数列的前n项和为Sn，则S2010的值为(　　)A.B.C.D.[答案]　D[解析]　∵f′(x)＝2ax，∴f(x)在点A处的切线斜率为f′

20、(1)＝2a，由条件知2a＝8，∴a＝4，∴f(x)＝4x2－1，∴＝＝·＝15∴数列的前n项和Sn＝＋＋…＋＝＋＋…＋＝＝，∴S2010＝.7．(2011·惠州三模)已知函数f(x)＝＋lnx，若函数f(x)在[1，＋∞)上为增函数，则正实数a的取值范围为________．[答案]　[1，＋∞)[解析]　∵f(x)＝＋lnx，∴f′(x)＝(a>0)，∵函数f(x)在[1，＋∞)上为增函数，∴f′(x)＝≥0对x∈[1，＋∞)恒成立，∴ax－1≥0对x∈[1，＋∞)