函数的最大值和最小值及应用举例.ppt

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1、3.3函数的最大值和最小值及应用举例主要内容1.闭区间上连续函数的最大值和最小值.2.函数在某区间内可导且有唯一极值点时的极大值和极小值.3.具体应用举例.1如果函数f(x)的最大(小)值在开区间(a,b)内取得，则最大最小者即为f(x)在[a,b]上的最小值。求出函数在(a,b)内的全部驻点和不可导点的函数值，而不可导点也可能是极值点，内可导，则函数的最大值与最小值只可能在开区间(a,b)内，或者在区间的端点x=a,x=b处取得。设函数y=f(x)在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)函数在开区间(a,b)内的极值点一定是函数的驻点，(小)值点一定是函数的极大(小)值点，又因为

2、可导f(x)在[a,b]上的最大值，由此，将它们与端点的函数值f(a),f(b)加以比较，其中最大者即为一、闭区间上函数的最大值和最小值21.求驻点和不可导点;2.求区间端点及驻点和不可导点的函数值,比较出最大值及最小值。最大(小)值的求法步骤.],[)(],[)(与最小值存在上的最大值在上连续，则在若函数baxfbaxf最大值M=max{f(a),f(x1),f(x2),···,f(xn),f(b)}最小值m=min{f(a),f(x1),f(x2),···,f(xn),f(b)}其中xi为f(x)在(a,b)内的所有驻点和不可导点。即3例1解计算比较得45二、函数在某区间内可导且有

3、唯一极值点的情形如果f(x)在一个区间(有限或无限，开或闭)内可导且只有一个驻点x0，并且这个驻点x0是函数f(x)的极值点，那么，当f(x0)是极大值时，f(x0)就是f(x)在该区间上的最大值；当f(x0)是极小值时，f(x0)就是f(x)在该区间上的最小值．f(x0)Oax0bxyf(x)yf(x0)Oax0bxyf(x)y6例2解显然：由于函数在定义域内有唯一极值点，所以函数的极大值就算函数的最大值.所以最大值为：7三、具体应用举例应当指出，实际问题中，往往根据问题的性质就可以断定函数f(x)确有最大值或最小值，而且一定在定义区间内部取得.这时如果f(x)在定义区间内部只有

4、一个驻点x0，那么不必讨论f(x0)是否是极值，就可以断定f(x0)是最大值或最小值．8例3铁路线上AB段的距离为100km.工厂C距A处为20km,AC垂直于AB．为了运输需要，要在AB线上选定一点D向工厂修筑一条公路．已知铁路每公里货运的运费与公路上每公里货运的运费之比3:5．为了使货物从供应站B运到工厂C的运费最省，问D点应选在何处？100kmDABC20km9先求y对x的导数：解方程y0，得x15(km)．其中以y

5、x15380k为最小，因此当ADx15km时，总运费为最省．设ADx(km)，则DB100x，设从B点到C点需要的总运费为y，那么y5k·CD

6、3k·DB(k是某个正数)，解10并且电路必有最大输出功率，从而可得函数解由电学知识可知，消耗在负载电阻R上的功率为P=I2R,其中I为回路中的根据欧姆定律又有，所以当负载电阻与内阻相等时，由于在(0,+∞)内函数只有一个驻点，输出功率最大。例4电流强度。11在解决最大(小)值的实际应用问题时,可以采取以下步骤：再利用变量之间的等量关系列出函数关系式y=f(x)，则可根据前面求最大(小)值的一般方法求解。(1)将问题中能取得最大(小)值的变量设为函数y，而将与函数有关联的条件变量设为x，并确定(2)求出函数再定义域内的驻点，如果驻点只有一个，并且由题意可知函数在定义域内必定存在最大值

7、或最小值，则该驻点对应的函数值就是问题所求的最大值或最小值；如果驻点不止一个，函数的定义域。再判定函数是否在驻点处取得最大值或最小值。12四、小结1.闭区间上连续函数的最大值和最小值.2.函数在某区间内可导且有唯一极值点时的极大值和极小值.3.具体应用举例.作业：13