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时间:2020-06-28
《2020一轮北师大版(理)数学训练:第8章 第9节 课时分层训练53 直线与圆锥曲线的位置关系 含解析.doc》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、课时分层训练(五十三) 直线与圆锥曲线的位置关系A组 基础达标(建议用时:30分钟)一、选择题1.直线y=x+3与双曲线-=1的交点个数是( )A.1 B.2C.1或2D.0A [因为直线y=x+3与双曲线的渐近线y=x平行,所以它与双曲线只有1个交点.]2.已知直线y=2(x-1)与抛物线C:y2=4x交于A,B两点,点M(-1,m),若·=0,则m=( )A.B.C.D.0B [由得A(2,2),B.又∵M(-1,m)且·=0,∴2m2-2m+1=0,解得m=.]3.(2017·南昌模拟)椭圆ax2+by2=1与直线y=1-x交于A,B
2、两点,过原点与线段AB中点的直线的斜率为,则的值为( )A.B.C.D.A [设A(x1,y1),B(x2,y2),线段AB中点M(x0,y0).由题设kOM==.由得=-.又=-1,==,所以=.]4.已知双曲线-=1(a>0,b>0)的一条渐近线过点(2,),且双曲线的一个焦点在抛物线y2=4x的准线上,则双曲线的方程为( )A.-=1B.-=1C.-=1D.-=1D [由题意知点(2,)在渐近线y=x上,所以=,又因为抛物线的准线为x=-,所以c=,故a2+b2=7,所以a=2,b=.故双曲线的方程为-=1.]5.已知椭圆E:+=1(
3、a>b>0)的右焦点为F(3,0),过点F的直线交E于A,B两点.若AB的中点坐标为(1,-1),则E的方程为( )A.+=1B.+=1C.+=1D.+=1A [因为直线AB过点F(3,0)和点(1,-1),所以直线AB的方程为y=(x-3),代入椭圆方程+=1消去y,得x2-a2x+a2-a2b2=0,所以AB的中点的横坐标为=1,即a2=2b2.又a2=b2+c2,所以b=c=3,a=3,所以E的方程为+=1.]二、填空题6.已知倾斜角为60°的直线l通过抛物线x2=4y的焦点,且与抛物线相交于A,B两点,则弦AB的长为_________
4、_.16 [直线l的方程为y=x+1,由得y2-14y+1=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1+y2=14,∴
5、AB
6、=y1+y2+p=14+2=16.]7.设双曲线-=1(a>0,b>0)的一条渐近线与抛物线y=x2+1只有一个公共点,则双曲线的离心率为________. [双曲线-=1的一条渐近线为y=x,由方程组消去y,得x2-x+1=0有唯一解,所以Δ=-4=0,=2,e====.]8.已知椭圆+=1(0
7、的坐标为(,0),而
8、AB
9、=2b,∴S△ABF=×2b×=b=≤=2(当且仅当b2=4-b2,即b2=2时取等号),故△ABF面积的最大值为2.]三、解答题9.已知中心在原点,焦点在x轴上的椭圆C的离心率为,其一个顶点是抛物线x2=-4y的焦点.(1)求椭圆C的标准方程;(2)若过点P(2,1)的直线l与椭圆C在第一象限相切于点M,求直线l的方程和点M的坐标.【导学号:57962425】[解] (1)设椭圆C的方程为+=1(a>b>0),由题意得b=,=,3分解得a=2,c=1.故椭圆C的标准方程为+=1.5分(2)因为过点P(2,1)的直线
10、l与椭圆C在第一象限相切,所以直线l的斜率存在,故可设直线l的方程为y=k(x-2)+1(k≠0).由8分得(3+4k2)x2-8k(2k-1)x+16k2-16k-8=0.①因为直线l与椭圆C相切,所以Δ=[-8k(2k-1)]2-4(3+4k2)(16k2-16k-8)=0,整理,得96(2k+1)=0,解得k=-.所以直线l的方程为y=-(x-2)+1=-x+2.10分将k=-代入①式,可以解得M点的横坐标为1,故切点M的坐标为.12分10.已知中心在原点,焦点在y轴上的椭圆C,其上一点P到两个焦点F1,F2的距离之和为4,离心率为.(1
11、)求椭圆C的方程;(2)若直线y=kx+1与曲线C交于A,B两点,求△OAB面积的取值范围.[解] (1)设椭圆的标准方程为+=1(a>b>0),由条件可得a=2,c=,b=1,故椭圆C的方程+x2=1.5分(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),由得(k2+4)x2+2kx-3=0,故x1+x2=-,x1x2=-.8分设△OAB的面积为S,由x1x2=-<0,知S=(
12、x1
13、+
14、x2
15、)=
16、x1-x2
17、==2,10分令k2+3=t,知t≥3,∴S=2,对函数y=t+(t≥3),知y′=1-=>0,∴y=t+在t∈[3,+∞)上递增,∴t+
18、≥,∴0<≤,∴S∈.12分B组 能力提升(建议用时:15分钟)1.(2016·四川高考)设O为坐标原点,P是以F为焦点的抛物线y2=2px(p>0)
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