【浙江专用】2020年高考数学总复习教师用书 第4章 第5讲　两角和与差的正弦、余弦和正切公式.doc

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1、第5讲　两角和与差的正弦、余弦和正切公式最新考纲　1.会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式；2.能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式；3.能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式，导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系；4.能运用上述公式进行简单的恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆).知识梳理1.两角和与差的正弦、余弦和正切公式sin(α±β)＝sin__αcos__β±cos__αsin__β.cos(α∓β)＝cos__αcos__β±sin__αsin__β.tan(α±β)＝.

2、2.二倍角的正弦、余弦、正切公式sin2α＝2sin__αcos__α.cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α.tan2α＝.3.有关公式的逆用、变形等(1)tanα±tanβ＝tan(α±β)(1∓tan__αtan__β).(2)cos2α＝，sin2α＝.(3)1＋sin2α＝(sinα＋cosα)2，1－sin2α＝(sinα－cosα)2，sinα±cosα＝sin.4.函数f(α)＝asinα＋bcosα(a，b为常数)，可以化为f(α)＝sin(α＋φ)或f(α)＝·cos(α－φ).诊断自测1.判断正误(在括号内打“

3、√”或“×”)(1)两角和与差的正弦、余弦公式中的角α，β是任意的.(　　)(2)存在实数α，β，使等式sin(α＋β)＝sinα＋sinβ成立.(　　)(3)公式tan(α＋β)＝可以变形为tanα＋tanβ＝tan(α＋β)(1－tanαtanβ)，且对任意角α，β都成立.(　　)(4)存在实数α，使tan2α＝2tanα.(　　)解析　(3)变形可以，但不是对任意的α，β都成立，α，β，α＋β≠＋kπ，k∈Z.答案　(1)√　(2)√　(3)×　(4)√2.(2016·全国Ⅲ卷)若tanθ＝－，则cos2θ＝(　　)A.－B.－C.D.解析　cos2θ＝co

4、s2θ－sin2θ＝＝＝.答案　D3.(2015·重庆卷)若tanα＝，tan(α＋β)＝，则tanβ等于(　　)A.B.C.D.解析　tanβ＝tan[(α＋β)－α]＝＝＝，故选A.答案　A4.(2017·广州调研)已知sinα＋cosα＝，则sin2＝(　　)A.B.C.D.解析　由sinα＋cosα＝两边平方得1＋sin2α＝，解得sin2α＝－，所以sin2＝＝＝＝，故选B.答案　B5.(必修4P137A13(5)改编)sin347°cos148°＋sin77°·cos58°＝________.解析　sin347°cos148°＋sin77°cos58°

5、＝sin(270°＋77°)cos(90°＋58°)＋sin77°cos58°＝(－cos77°)·(－sin58°)＋sin77°cos58°＝sin58°cos77°＋cos58°sin77°＝sin(58°＋77°)＝sin135°＝.答案　6.(2017·宁波调研)已知cos＝－，θ为锐角，则sin2θ＝________，sin＝________.解析　由题意得，cos＝－⇒(cosθ－sinθ)＝－⇒(1－2sinθcosθ)＝⇒sin2θ＝，∴(sinθ＋cosθ)2＝1＋sin2θ＝⇒sinθ＋cosθ＝⇒cos2θ＝cos2θ－sin2θ＝(cos

6、θ＋sinθ)·(cosθ－sinθ)＝－·＝－，∴sin＝sin2θcos＋cos2θsin＝×＋×＝.答案　　考点一　三角函数式的化简【例1】(1)(2017·杭州模拟)cos(α＋β)cosβ＋sin(α＋β)sinβ＝(　　)A.sin(α＋2β)B.sinαC.cos(α＋2β)D.cosα(2)化简：(0<α<π)＝________.解析　(1)cos(α＋β)cosβ＋sin(α＋β)sinβ＝cos[(α＋β)－β]＝cosα.(2)原式＝＝＝.因为0<α<π，所以0<<，所以cos>0，所以原式＝cosα.答案　(1)D　(2)cosα规律方法　

7、三角函数式的化简要遵循“三看”原则：一看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，正确使用公式；二看函数名称之间的差异，确定使用的公式，常见的有“切化弦”；三看结构特征，找到变形的方向，常见的有“遇到分式要通分”、“遇到根式一般要升幂”等.【训练1】(1)＋2的化简结果是________.(2)化简：＝________.解析　(1)原式＝＋2＝2

8、cos4

9、＋2

10、sin4－cos4

11、，因为π<4<π，所以cos4<0，且sin4

12、cos2α