【浙江专用】2020年高考数学总复习教师用书 第9章 第7讲　抛物线.doc

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1、第7讲　抛物线最新考纲　掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质.知识梳理1.抛物线的定义(1)平面内与一个定点F和一条定直线l(F∉l)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线.(2)其数学表达式：

2、MF

3、＝d(其中d为点M到准线的距离).2.抛物线的标准方程与几何性质图形标准方程y2＝2px(p>0)y2＝－2px(p>0)x2＝2py(p>0)x2＝－2py(p>0)p的几何意义：焦点F到准线l的距离性质顶点O(0，0)对称轴y＝0x＝0焦点FFFF离心率

4、e＝1准线方程x＝－x＝y＝－y＝范围x≥0，y∈Rx≤0，y∈Ry≥0，x∈Ry≤0，x∈R开口方向向右向左向上向下诊断自测1.判断正误(在括号内打“√”或“×”)(1)平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹一定是抛物线.(　　)(2)方程y＝ax2(a≠0)表示的曲线是焦点在x轴上的抛物线，且其焦点坐标是，准线方程是x＝－.(　　)(3)抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形.(　　)(4)过抛物线的焦点与抛物线对称轴垂直的直线被抛物线截得的线段叫做抛物线的通径，那么抛物线x2＝－2ay(

5、a＞0)的通径长为2a.(　　)解析　(1)当定点在定直线上时，轨迹为过定点F与定直线l垂直的一条直线，而非抛物线.(2)方程y＝ax2(a≠0)可化为x2＝y，是焦点在y轴上的抛物线，且其焦点坐标是，准线方程是y＝－.(3)抛物线是只有一条对称轴的轴对称图形.答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√2.(2016·四川卷)抛物线y2＝4x的焦点坐标是(　　)A.(0，2)B.(0，1)C.(2，0)D.(1，0)解析　抛物线y2＝ax的焦点坐标为，故y2＝4x，则焦点坐标为(1，0).答案　D3.(2

6、014·全国Ⅰ卷)已知抛物线C：y2＝x的焦点为F，A(x0，y0)是C上一点，

7、AF

8、＝x0，则x0＝(　　)A.4B.2C.1D.8解析　由y2＝x，得2p＝1，即p＝，因此焦点F，准线方程为l：x＝－.设A点到准线的距离为d，由抛物线的定义可知d＝

9、AF

10、，从而x0＋＝x0，解得x0＝1，故选C.答案　C4.(2017·杭州七校联考)抛物线C：y＝ax2的准线方程为y＝－，则其焦点坐标为________，实数a的值为________.解析　化抛物线C的方程为x2＝y，由题意得－＝－，∴a＝1，即C：x

11、2＝y，其焦点坐标为.答案　　15.(选修2－1P73A4(2)改编)已知抛物线的顶点是原点，对称轴为坐标轴，并且经过点P(－2，－4)，则该抛物线的标准方程为________.解析　很明显点P在第三象限，所以抛物线的焦点可能在x轴负半轴上或y轴负半轴上.当焦点在x轴负半轴上时，设方程为y2＝－2px(p＞0)，把点P(－2，－4)的坐标代入得(－4)2＝－2p×(－2)，解得p＝4，此时抛物线的标准方程为y2＝－8x；当焦点在y轴负半轴上时，设方程为x2＝－2py(p＞0)，把点P(－2，－4)的坐标代入

12、得(－2)2＝－2p×(－4)，解得p＝，此时抛物线的标准方程为x2＝－y.综上可知，抛物线的标准方程为y2＝－8x或x2＝－y.答案　y2＝－8x或x2＝－y6.已知抛物线方程为y2＝8x，若过点Q(－2，0)的直线l与抛物线有公共点，则直线l的斜率的取值范围是________.解析　设直线l的方程为y＝k(x＋2)，代入抛物线方程，消去y整理得k2x2＋(4k2－8)x＋4k2＝0，当k＝0时，显然满足题意；当k≠0时，Δ＝(4k2－8)2－4k2·4k2＝64(1－k2)≥0，解得－1≤k＜0或0＜k

13、≤1，因此k的取值范围是[－1，1].答案　[－1，1]考点一　抛物线的定义及应用【例1】(1)(2016·浙江卷)若抛物线y2＝4x上的点M到焦点的距离为10，则M到y轴的距离是________.(2)若抛物线y2＝2x的焦点是F，点P是抛物线上的动点，又有点A(3，2)，则

14、PA

15、＋

16、PF

17、取最小值时点P的坐标为________.解析　(1)抛物线y2＝4x的焦点F(1，0).准线为x＝－1，由M到焦点的距离为10，可知M到准线x＝－1的距离也为10，故M的横坐标满足xM＋1＝10，解得xM＝9，所以点

18、M到y轴的距离为9.(2)将x＝3代入抛物线方程y2＝2x，得y＝±.∵>2，∴A在抛物线内部，如图.设抛物线上点P到准线l：x＝－的距离为d，由定义知

19、PA

20、＋

21、PF

22、＝

23、PA

24、＋d，当PA⊥l时，

25、PA

26、＋d最小，最小值为，此时P点纵坐标为2，代入y2＝2x，得x＝2，∴点P的坐标为(2，2).答案　(1)9　(2)(2，2)规律方法　与抛物线有关的最值问题，一般情况下都与抛物线的定义有关.由于抛物线的定义在