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时间:2020-06-28
《【浙江专用】2020年高考数学总复习教师用书 第4章 第6讲 正弦定理和余弦定理.doc》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、第6讲 正弦定理和余弦定理最新考纲 掌握正弦定理、余弦定理,并能解决一些简单的三角形度量问题.知识梳理1.正、余弦定理在△ABC中,若角A,B,C所对的边分别是a,b,c,R为△ABC外接圆半径,则定理正弦定理余弦定理公式===2Ra2=b2+c2-2bccos__A;b2=c2+a2-2cacos__B;c2=a2+b2-2abcos__C常见变形(1)a=2RsinA,b=2Rsin__B,c=2Rsin__C;(2)sinA=,sinB=,sinC=;(3)a∶b∶c=sin__A∶sin__B∶sin__C;(4)asinB=
2、bsinA,bsinC=csinB,asinC=csinAcosA=;cosB=;cosC=2.S△ABC=absinC=bcsinA=acsinB==(a+b+c)·r(r是三角形内切圆的半径),并可由此计算R,r.3.在△ABC中,已知a,b和A时,解的情况如下:A为锐角A为钝角或直角图形关系式a=bsinAbsinAba≤b解的个数一解两解一解一解无解诊断自测1.判断正误(在括号内打“√”或“×”)(1)三角形中三边之比等于相应的三个内角之比.( )(2)在△ABC中,若sinA>sinB,则A>B.( )
3、(3)在△ABC的六个元素中,已知任意三个元素可求其他元素.( )(4)当b2+c2-a2>0时,△ABC为锐角三角形;当b2+c2-a2=0时,△ABC为直角三角形;当b2+c2-a2<0时,△ABC为钝角三角形.( )(5)在三角形中,已知两边和一角就能求三角形的面积.( )解析 (1)三角形中三边之比等于相应的三个内角的正弦值之比.(3)已知三角时,不可求三边.(4)当b2+c2-a2>0时,三角形ABC不一定为锐角三角形.答案 (1)× (2)√ (3)× (4)× (5)√2.(2016·全国Ⅰ卷)△ABC的内角A,B
4、,C的对边分别为a,b,c.已知a=,c=2,cosA=,则b=( )A.B.C.2D.3解析 由余弦定理,得5=b2+22-2×b×2×,解得b=3,故选D.答案 D3.(2017·湖州预测)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若=,则cosB=( )A.-B.C.-D.解析 由正弦定理知==1,即tanB=,由B∈(0,π),所以B=,所以cosB=cos=,故选B.答案 B4.在△ABC中,A=60°,AB=2,且△ABC的面积为,则BC的长为( )A.B.C.2D.2解析 因为S=×AB×ACsinA=×
5、2×AC=,所以AC=1,所以BC2=AB2+AC2-2AB·ACcos60°=3,所以BC=.答案 B5.(必修5P10B2改编)在△ABC中,acosA=bcosB,则这个三角形的形状为________.解析 由正弦定理,得sinAcosA=sinBcosB,即sin2A=sin2B,所以2A=2B或2A=π-2B,即A=B或A+B=,所以这个三角形为等腰三角形或直角三角形.答案 等腰三角形或直角三角形6.(2017·绍兴调研)已知钝角△ABC的面积为,AB=1,BC=,则角B=________,AC=________.解析 ∵钝
6、角△ABC的面积为,AB=1,BC=,∴=×1××sinB,解得sinB=,∴B=或,∵当B=时,由余弦定理可得AC===1,此时,AB2+AC2=BC2,可得A=,此△ABC为直角三角形,与已知矛盾,舍去.∴B=,由余弦定理可得AC===.答案 考点一 利用正、余弦定理解三角形【例1】(1)在△ABC中,已知a=2,b=,A=45°,则满足条件的三角形有( )A.1个B.2个C.0个D.无法确定(2)在△ABC中,已知sinA∶sinB=∶1,c2=b2+bc,则三内角A,B,C的度数依次是________.(3)(2015·广
7、东卷)设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a=,sinB=,C=,则b=________.解析 (1)∵bsinA=×=,∴bsinA8、由正弦定理得=,即=,解得b=1.答案 (1)B (2)45°,30°,105° (3)1规律方法 (1)判断三角形解的个数的两种方法①代数法:根据大边对大角的性质、三角形内角和公式、正弦函数的值域等判断.②几何图形法:
8、由正弦定理得=,即=,解得b=1.答案 (1)B (2)45°,30°,105° (3)1规律方法 (1)判断三角形解的个数的两种方法①代数法:根据大边对大角的性质、三角形内角和公式、正弦函数的值域等判断.②几何图形法:
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