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时间:2020-06-28
《【学霸优课】2020数学理科一轮对点训练 6-4-2 数列的综合应用 .doc》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、1.若a,b是函数f(x)=x2-px+q(p>0,q>0)的两个不同的零点,且a,b,-2这三个数可适当排序后成等差数列,也可适当排序后成等比数列,则p+q的值等于( )A.6B.7C.8D.9答案 D解析 由题可知a,b是x2-px+q=0的两根,∴a+b=p>0,ab=q>0,故a,b均为正数.∵a,b,-2适当排序后成等比数列,∴-2是a,b的等比中项,得ab=4,∴q=4.又a,b,-2适当排序后成等差数列,所以-2是第一项或第三项,不防设a0,∴a=1,此时b=4,∴
2、p=a+b=5,∴p+q=9,选D.2.设Sn为等比数列{an}的前n项和.若a1=1,且3S1,2S2,S3成等差数列,则an=________.答案 3n-1解析 由3S1,2S2,S3成等差数列,得4S2=3S1+S3,即3S2-3S1=S3-S2,则3a2=a3,得公比q=3,所以an=a1qn-1=3n-1.3.设Sn是数列{an}的前n项和,且a1=-1,an+1=SnSn+1,则Sn=________.答案 -解析 ∵an+1=Sn+1-Sn,∴Sn+1-Sn=Sn+1Sn,又由a1=-1,知Sn≠0,∴-=1,∴是等差数列,且公差为-1,而==-1,∴=-1+(n-1)×(
3、-1)=-n,∴Sn=-.4.设n∈N*,xn是曲线y=x2n+2+1在点(1,2)处的切线与x轴交点的横坐标.(1)求数列{xn}的通项公式;(2)记Tn=xx…x,证明:Tn≥.解 (1)y′=(x2n+2+1)′=(2n+2)x2n+1,曲线y=x2n+2+1在点(1,2)处的切线斜率为2n+2,从而切线方程为y-2=(2n+2)(x-1).令y=0,解得切线与x轴交点的横坐标xn=1-=.(2)证明:由题设和(1)中的计算结果知Tn=xx…x=22…2.当n=1时,T1=.当n≥2时,因为x=2=>==.所以Tn>2×××…×=.综上可得对任意的n∈N*,都有Tn≥.5.设等差数列
4、{an}的公差为d,点(an,bn)在函数f(x)=2x的图象上(n∈N*).(1)若a1=-2,点(a8,4b7)在函数f(x)的图象上,求数列{an}的前n项和Sn;(2)若a1=1,函数f(x)的图象在点(a2,b2)处的切线在x轴上的截距为2-,求数列的前n项和Tn.解 (1)由已知,b7=2a7,b8=2a8=4b7,有2a8=4×2a7=2a7+2.解得d=a8-a7=2.所以,Sn=na1+d=-2n+n(n-1)=n2-3n.(2)函数f(x)=2x在(a2,b2)处的切线方程为y-2a2=(2a2ln2)(x-a2),它在x轴上的截距为a2-.由题意,a2-=2-,解得a
5、2=2.所以,d=a2-a1=1.从而an=n,bn=2n.所以Tn=+++…++,2Tn=+++…+.因此,2Tn-Tn=1+++…+-=2--=.所以,Tn=.6.已知数列{an}和{bn}满足a1a2a3…an=()bn(n∈N*).若{an}为等比数列,且a1=2,b3=6+b2.(1)求an与bn;(2)设cn=-(n∈N*).记数列{cn}的前n项和为Sn.①求Sn;②求正整数k,使得对任意n∈N*均有Sk≥Sn.解 (1)由题意a1a2a3…an=()bn,b3-b2=6,知a3=()=8,又由a1=2,得公比q=2(q=-2舍去),所以数列{an}的通项为an=2n(n∈N
6、*).所以,a1a2a3…an=2=()n(n+1).故数列{bn}的通项为bn=n(n+1)(n∈N*).(2)①由(1)知cn=-=-(n∈N*),所以Sn=-(n∈N*).②因为c1=0,c2>0,c3>0,c4>0,当n≥5时,cn=,而-=>0,得≤<1.所以,当n≥5时,cn<0.综上,对任意n∈N*恒有S4≥Sn,故k=4.7.设数列{an}的前n项和为Sn,若对任意的正整数n,总存在正整数m,使得Sn=am,则称{an}是“H数列”.(1)若数列{an}的前n项和Sn=2n(n∈N*),证明:{an}是“H数列”;(2)设{an}是等差数列,其首项a1=1,公差d<0.若{
7、an}是“H数列”,求d的值;(3)证明:对任意的等差数列{an},总存在两个“H数列”{bn}和{cn},使得an=bn+cn(n∈N*)成立.解 (1)证明:由已知,当n≥1时,an+1=Sn+1-Sn=2n+1-2n=2n.于是对任意的正整数n,总存在正整数m=n+1,使得Sn=2n=am.所以{an}是“H数列”.(2)由已知,得S2=2a1+d=2+d.因为{an}是“H数列”,所以存在正整数m,使得S2=am
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