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时间:2020-06-28
《【苏教版】2020版高考数学文科一轮复习优化探究练习 第三章 第二节 导数在研究函数中的应用含解析.doc》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、一、填空题1.函数y=1+3x-x3的极大值,极小值分别为________.解析:由y=1+3x-x3,得y′=-3x2+3,令y′=0,即-3x2+3=0.得x=±1.∵当x<-1时,y′<0;当-10;当x>1时,y′<0.∴当x=1时,有y极大值=1+3-1=3;当x=-1时,有y极小值=1-3+1=-1.答案:3,-12.函数y=x3-3x2+1的单调递减区间为________.解析:f′(x)=(x3-3x2+1)′=3x2-6x,∵当f′(x)<0时,f(x)单调递减,∴3x2-6
2、x<0,即03、x3-3x-t+14、在区间[-2,1]上的最大值为2,则实数t=________.解析:由题意知-2≤x3-3x-t+1≤2在x∈[-2,1]上恒成立,不等式左右两边分别分离变量,可得x3-3x-1≤t≤x3-3x+3在x∈[-2,1]上恒成立,得1≤t≤1,所以t=1.本题还可以通过数形结合的方法讨论解决.答案:14.函数f(x)=x3+3ax2+3[(a+2)x+1]既有极大值又有极小值,则a的取值范围是__5、______.解析:∵f(x)=x3+3ax2+3[(a+2)x+1],∴f′(x)=3x2+6ax+3(a+2).令3x2+6ax+3(a+2)=0,即x2+2ax+a+2=0.∵函数f(x)有极大值和极小值,∴方程x2+2ax+a+2=0有两个不相等的实根.即Δ=4a2-4a-8>0,∴a>2或a<-1.答案:a>2或a<-15.已知函数f(x)=x4-2x3+3m,x∈R,若f(x)+9≥0恒成立,则实数m的取值范围是________.解析:因为函数f(x)=x4-2x3+3m,所以f′(x)=2x3-66、x2,令f′(x)=0,得x=0或x=3,经检验知x=3是函数的最小值点,所以函数的最小值为f(3)=3m-,不等式f(x)+9≥0恒成立,即f(x)≥-9恒成立,所以3m-≥-9,解得m≥.答案:m≥6.函数y=x+2cosx在[0,]上取得最大值时x的值为________.解析:y′=(x+2cosx)′=1-2sinx,令1-2sinx=0,且x∈[0,]时,x=.当x∈[0,]时,f′(x)≥0,f(x)是单调增函数,当x∈[,]时,f′(x)≤0,f(x)单调递减.∴f(x)max=f().答案:7.7、设m∈R,若函数y=ex+2mx(x∈R)有大于零的极值点,则m的取值范围是________.解析:因为函数y=ex+2mx(x∈R)有大于零的极值点,所以y′=ex+2m=0有大于0的实根.令y1=ex,y2=-2m,则两曲线的交点必在第一象限.由图象可得-2m>1,即m<-.答案:m<-8.已知函数f(x)=xsinx,x∈R,则f(-4),f(),f(-)的大小关系为________(用“<”连结).解析:f′(x)=sinx+xcosx,当x∈[,]时,sinx<0,cosx<0,∴f′(x)=sinx8、+xcosx<0,则函数f(x)在x∈[,]上为减函数,∴f()0⇒x<或x>2,f′(x)<0⇒9、调递减,∴x=2是极小值点.故c=2不合题意,c=6.答案:6二、解答题10.已知函数f(x)=ax2+blnx在x=1处有极值.(1)求a,b的值;(2)判断函数y=f(x)的单调性并求出单调区间.解析:(1)因为函数f(x)=ax2+blnx,所以f′(x)=2ax+.又函数f(x)在x=1处有极值,所以.即解得(2)由(1)可知f(x)=x2-lnx,其定义域是(0,+∞),且f′(x)=x-=.当x变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表:x(0,1)1(1,+∞)f′(x)-0+f(x)极小值10、所以函数y=f(x)的单调递减区间是(0,1),单调递增区间是(1,+∞).11.已知函数f(x)=(x>0,x≠1).(1)求函数f(x)的极值;(2)若不等式>x对任意实数x恒成立,求实数a的取值范围.解析:(1)函数f(x)=的定义域为(0,1)∪(1,+∞),f′(x)=.令f′(x)=0,解得x=e.当x变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表:x(0,1)(1,e)e(
3、x3-3x-t+1
4、在区间[-2,1]上的最大值为2,则实数t=________.解析:由题意知-2≤x3-3x-t+1≤2在x∈[-2,1]上恒成立,不等式左右两边分别分离变量,可得x3-3x-1≤t≤x3-3x+3在x∈[-2,1]上恒成立,得1≤t≤1,所以t=1.本题还可以通过数形结合的方法讨论解决.答案:14.函数f(x)=x3+3ax2+3[(a+2)x+1]既有极大值又有极小值,则a的取值范围是__
5、______.解析:∵f(x)=x3+3ax2+3[(a+2)x+1],∴f′(x)=3x2+6ax+3(a+2).令3x2+6ax+3(a+2)=0,即x2+2ax+a+2=0.∵函数f(x)有极大值和极小值,∴方程x2+2ax+a+2=0有两个不相等的实根.即Δ=4a2-4a-8>0,∴a>2或a<-1.答案:a>2或a<-15.已知函数f(x)=x4-2x3+3m,x∈R,若f(x)+9≥0恒成立,则实数m的取值范围是________.解析:因为函数f(x)=x4-2x3+3m,所以f′(x)=2x3-6
6、x2,令f′(x)=0,得x=0或x=3,经检验知x=3是函数的最小值点,所以函数的最小值为f(3)=3m-,不等式f(x)+9≥0恒成立,即f(x)≥-9恒成立,所以3m-≥-9,解得m≥.答案:m≥6.函数y=x+2cosx在[0,]上取得最大值时x的值为________.解析:y′=(x+2cosx)′=1-2sinx,令1-2sinx=0,且x∈[0,]时,x=.当x∈[0,]时,f′(x)≥0,f(x)是单调增函数,当x∈[,]时,f′(x)≤0,f(x)单调递减.∴f(x)max=f().答案:7.
7、设m∈R,若函数y=ex+2mx(x∈R)有大于零的极值点,则m的取值范围是________.解析:因为函数y=ex+2mx(x∈R)有大于零的极值点,所以y′=ex+2m=0有大于0的实根.令y1=ex,y2=-2m,则两曲线的交点必在第一象限.由图象可得-2m>1,即m<-.答案:m<-8.已知函数f(x)=xsinx,x∈R,则f(-4),f(),f(-)的大小关系为________(用“<”连结).解析:f′(x)=sinx+xcosx,当x∈[,]时,sinx<0,cosx<0,∴f′(x)=sinx
8、+xcosx<0,则函数f(x)在x∈[,]上为减函数,∴f()0⇒x<或x>2,f′(x)<0⇒9、调递减,∴x=2是极小值点.故c=2不合题意,c=6.答案:6二、解答题10.已知函数f(x)=ax2+blnx在x=1处有极值.(1)求a,b的值;(2)判断函数y=f(x)的单调性并求出单调区间.解析:(1)因为函数f(x)=ax2+blnx,所以f′(x)=2ax+.又函数f(x)在x=1处有极值,所以.即解得(2)由(1)可知f(x)=x2-lnx,其定义域是(0,+∞),且f′(x)=x-=.当x变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表:x(0,1)1(1,+∞)f′(x)-0+f(x)极小值10、所以函数y=f(x)的单调递减区间是(0,1),单调递增区间是(1,+∞).11.已知函数f(x)=(x>0,x≠1).(1)求函数f(x)的极值;(2)若不等式>x对任意实数x恒成立,求实数a的取值范围.解析:(1)函数f(x)=的定义域为(0,1)∪(1,+∞),f′(x)=.令f′(x)=0,解得x=e.当x变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表:x(0,1)(1,e)e(
9、调递减,∴x=2是极小值点.故c=2不合题意,c=6.答案:6二、解答题10.已知函数f(x)=ax2+blnx在x=1处有极值.(1)求a,b的值;(2)判断函数y=f(x)的单调性并求出单调区间.解析:(1)因为函数f(x)=ax2+blnx,所以f′(x)=2ax+.又函数f(x)在x=1处有极值,所以.即解得(2)由(1)可知f(x)=x2-lnx,其定义域是(0,+∞),且f′(x)=x-=.当x变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表:x(0,1)1(1,+∞)f′(x)-0+f(x)极小值
10、所以函数y=f(x)的单调递减区间是(0,1),单调递增区间是(1,+∞).11.已知函数f(x)=(x>0,x≠1).(1)求函数f(x)的极值;(2)若不等式>x对任意实数x恒成立,求实数a的取值范围.解析:(1)函数f(x)=的定义域为(0,1)∪(1,+∞),f′(x)=.令f′(x)=0,解得x=e.当x变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表:x(0,1)(1,e)e(
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