【课堂新坐标】2020届高三文科数学 通用版二轮复习 第1部分 专题5 突破点13　圆锥曲线中的综合问题 含解析.doc

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1、突破点13　圆锥曲线中的综合问题(酌情自选)提炼1解答圆锥曲线的定值、定点问题，从三个方面把握　(1)从特殊开始，求出定值，再证明该值与变量无关．(2)直接推理、计算，在整个过程中消去变量，得定值．(3)在含有参数的曲线方程里面，把参数从含有参数的项里面分离出来，并令其系数为零，可以解出定点坐标.提炼2用代数法求最值与范围问题时从下面几个方面入手　(1)若直线和圆锥曲线有两个不同的交点，则可以利用判别式求范围．(2)若已知曲线上任意一点、一定点或与定点构成的图形，则利用圆锥曲线的性质(性质中的范围)求解．(3)利用隐含或已知的

2、不等关系式直接求范围．(4)利用基本不等式求最值与范围．(5)利用函数值域的方法求最值与范围．提炼3　与圆锥曲线有关的探索性问题　(1)给出问题的一些特殊关系，要求探索出一些规律，并能论证所得规律的正确性．通常要对已知关系进行观察、比较、分析，然后概括出一般规律．(2)对于只给出条件，探求“是否存在”类型问题，一般要先对结论作出肯定存在的假设，然后由假设出发，结合已知条件进行推理，若推出相符的结论，则存在性得到论证；若推出矛盾，则假设不存在．回访1　圆锥曲线的定值、定点问题1．(2015·全国卷Ⅱ)已知椭圆C：＋＝1(a>b>

3、0)的离心率为，点(2，)在C上．(1)求C的方程；(2)直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M.证明：直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值．解]　(1)由题意有＝，＋＝1，2分解得a2＝8，b2＝4.3分所以C的方程为＋＝1.4分(2)证明：设直线l：y＝kx＋b(k≠0，b≠0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(xM，yM)．将y＝kx＋b代入＋＝1，得(2k2＋1)x2＋4kbx＋2b2－8＝0.6分故xM＝＝，yM＝k·xM＋b＝.8分于是直线OM的斜率kOM＝＝－，即

4、kOM·k＝－.11分所以直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值.12分回访2　圆锥曲线中的最值与范围问题2．(2014·北京高考)已知椭圆C：x2＋2y2＝4.(1)求椭圆C的离心率；(2)设O为原点，若点A在直线y＝2上，点B在椭圆C上，且OA⊥OB，求线段AB长度的最小值．解]　(1)由题意，椭圆C的标准方程为＋＝1，2分所以a2＝4，b2＝2，从而c2＝a2－b2＝2.因此a＝2，c＝.故椭圆C的离心率e＝＝.5分(2)设点A，B的坐标分别为(t,2)，(x0，y0)，其中x0≠0.因为OA⊥OB，所以·＝0，即tx

5、0＋2y0＝0，解得t＝－.7分又x＋2y＝4，所以

6、AB

7、2＝(x0－t)2＋(y0－2)2＝2＋(y0－2)2＝x＋y＋＋4＝x＋＋＋4＝＋＋4(0＜x≤4).12分因为＋≥4(0

8、AB

9、2≥8.故线段AB长度的最小值为2.14分回访3　与圆锥曲线有关的探索性问题3．(2015·四川高考)如图151，椭圆E：＋＝1(a>b>0)的离心率是，点P(0,1)在短轴CD上，且·＝－1.图151(1)求椭圆E的方程；(2)设O为坐标原点，过点P的动直线与椭圆交于A，B两点．是否存在常数λ，使得

10、·＋λ·为定值？若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由．解]　(1)由已知，点C，D的坐标分别为(0，－b)，(0，b)．又点P的坐标为(0,1)，且·＝－1，于是解得a＝2，b＝.所以椭圆E的方程为＋＝1.4分(2)当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y＝kx＋1，A，B的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)．联立得(2k2＋1)x2＋4kx－2＝0.其判别式Δ＝(4k)2＋8(2k2＋1)>0，所以x1＋x2＝－，x1x2＝－.6分从而，·＋λ·＝x1x2＋y1y2＋λx1x2＋(y1－1)(y2－1)]＝(1＋

11、λ)(1＋k2)x1x2＋k(x1＋x2)＋1＝＝－－λ－2.9分所以，当λ＝1时，－－λ－2＝－3.此时，·＋λ·＝－3为定值.10分当直线AB斜率不存在时，直线AB即为直线CD.此时，·＋λ·＝·＋·＝－2－1＝－3.12分故存在常数λ＝1，使得·＋λ·为定值－3.13分热点题型1　圆锥曲线中的定值问题题型分析：圆锥曲线中的定值问题是近几年高考的热点内容，解决这类问题的关键是引入变化的参数表示直线方程、数量积、比例关系等，根据等式恒成立，数式变换等寻找不受参数影响的量．　(2016·重庆二模)已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0

12、)上一点P与椭圆右焦点的连线垂直于x轴，直线l：y＝kx＋m与椭圆C相交于A，B两点(均不在坐标轴上)．(1)求椭圆C的标准方程；(2)设O为坐标原点，若△AOB的面积为，试判断直线OA与OB的斜率之积是否为定值？【导学号：85952055】解]　(1)由题意知解得3分∴椭圆