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1、7.3二重积分的应用ApplicationsofDoubleIntegrals7.2.1二重积分的元素法将定积分的元素法推广到二重积分可得二重积分的元素法若要计算的某个量U对于闭区域D具有可加性并且在闭区域D内任取一个直径很小的闭区域时，相应地部分量可近似地表示为的形式，其中在内．则所求量的积分表达式为称为所求量U的元素，记为，二重积分的元素法(即当闭区域D分成许多小闭区域时，所求量U相应地分成许多部分量，且U等于部分量之和)，7.3.2曲面的面积TheAreaofaSurface平面的面积求平面在有界闭区域D上的那一块的面积A已知求则设平面
2、与z=0的夹角为平面与z=0的夹角余弦为与k夹角余弦所以曲面方程：有界闭区域求曲面的面积A切平面的法矢：切平面与z=0的夹角余弦：（n与k的夹角余弦）面积元素曲面面积其中D是曲面在坐标面z=0上的投影区域求曲面面积的步骤：(1)求曲面在坐标面z=0上的投影区域D(2)在区域D上计算二重积分：设曲面的方程为：曲面面积公式为：设曲面的方程为：曲面面积公式为：同理可得Examplewith(plots):zuimian:=implicitplot3d(x^2+y^2=z^2,x=-2..2,y=-2..2,z=0..1,color=yellow,g
3、rid=[20,20,20]):zhumian:=implicitplot3d(x^2+y^2=x,x=-2..2,y=-2..2,z=0..1,color=green,grid=[20,20,20]):x_axis:=plot3d([u,0,0],u=-2..2,v=0..0.01,thickness=2):y_axis:=plot3d([0,u,0],u=-2..2,v=0..0.01,thickness=2):z_axis:=plot3d([0,0,u],u=0..1.2,v=0..0.01,thickness=2):display(z
4、uimian,zhumian,x_axis,y_axis,z_axis,orientation=[23,66],scaling=constrained);投影区域ProjectionExample球冠在xOy面上的投影区域：半球面面积：球面面积：7.3.3平面薄片的重心TheCenterofMassofaLamina质点:P(x,y)质量:m质点P对x轴的静力矩：质点P对y轴的静力矩：平面薄片占据区域D面密度：取一小块薄片：位于(x,y)近似地看成质点小薄片质量：质量元素薄片质量：小薄片对x轴的静力矩：对y轴的静力矩元素小薄片对y轴的静力矩：
5、对x轴的静力矩元素薄片对x轴的静力矩：薄片对y轴的静力矩：Themomentaboutthex-axisThemomentaboutthey-axis薄板的重心坐标：Thecenterofthemass若薄片有均匀密度：（常数）薄板的重心坐标：此时的中心成为形心例3.4是常数求形心作图implicitplot(y^2=4*x,x=-0.2..1.2,y=-0.5..2.2,thickness=3,scaling=constrained);交点：形心：例3.3自学由对称性，重心在x轴上：7.3.4平面薄片的转动惯量TheMomentofIner
6、tiaofaLamina质点:P(x,y)质量:m质点P对x轴的转动惯量：质点P对y轴的静力矩：y：转动半径x：转动半径质点P对原点O的转动惯量：转动半径平面薄片占据区域D面密度：取一小块薄片：位于(x,y)近似地看成质点小薄片质量：质量元素小薄片对x轴的转动惯量：对y轴的转动惯量元素小薄片对y轴的转动惯量：对x轴的转动惯量元素对O的转动惯量元素小薄片对原点O的转动惯量：薄板对x轴的转动惯量：薄板对y轴的转动惯量：Themomentofinertiaaboutthex-axisThemomentofinertiaaboutthey-axis薄
7、板对原点O的转动惯量：Themomentofinertiaabouttheoriginy：转动半径问：薄片关于直线y=a的转动惯量？微元的转动半径：转动半径例3.5
