三垂线定理(好).ppt

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1、第一章直线和平面三垂线定理在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么，它就和这条斜线垂直。1.三垂线定理AaOP证明：a⊥POPA⊥aAO⊥aa⊥平面PAOPO平面PAOPA⊥a已知PA、PO分别是平面的垂线、斜线，AO是PO在平面上的射影。a，a⊥AO。求证：a⊥PO2.三垂线逆定理在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它就和这条斜线的射影垂直。3.强调1)分清原定理和逆定理的条件和结论原定理:线与射影垂直线与斜线垂直逆定理2)两个定理中涉及到的三个垂直①线面垂直②线射垂直③线斜垂直PCBA例

2、1已知P是平面ABC外一点，PA⊥平面ABC，AC⊥BC，求证：PC⊥BC证明：∵PA⊥平面ABCAC是斜线PC在平面ABC上的射影又∵BC平面ABC且AC⊥BC∴由三垂线定理得PC⊥BC题型一：证明线线垂直例2直接利用三垂线定理及逆定理证明下列各题：(1)PA⊥正方形ABCD所在平面，O为对角线BD的中点求证：PC⊥BD(3)在正方体AC1中，求证：A1C⊥BD，A1C⊥BC1(2)已知：PA⊥平面ABC，PB=PC，M是BC的中点，求证：BC⊥AM(2)BPMCAADCBA1D1B1C1(3)(1)POABCD(3)在正方体AC1中，求证：

3、A1C⊥BC1，A1C⊥BD在正方体AC1中，A1B1⊥面BCC1B1，B1C是A1C在面BCC1B1上的射影，BC平面ABC且BC1⊥B1CCBA1B1C1ADD1证明：CBA1B1C1ADD1同理可证，A1C⊥BD由三垂线定理知A1C⊥BC1结论1：如果一个角所在平面外一点到角的两边距离相等，那么这一点在平面上的射影在这个角的平分线上。4.两个重要结论（适用于选择填空）结论2.经过一个角的顶点引这个角所在平面的斜线，如果斜线和这个角两边的夹角相等，那么斜线在平面上的射影是这个角的平分线所在的直线。OPCBA5.关于内心外心垂心的总结：PA=

4、PB=PCP在底面ABC的射影为外心PA,PB,PC两两垂直垂心两组对棱垂直垂心内心P到三边距离相等内心两个定理的应用：证明线线垂直；求点到直线的距离三垂线定理解题的关键：找三垂！怎么找？一找直线和平面垂直二找平面的斜线在平面内的射影和平面内的一条直线垂直注意：由一垂、二垂直接得出第三垂并不是三垂都作为已知条件解题回顾PAOaα应用三垂线定理及逆定理证明直线垂直的步骤:“一垂”:找平面及平面的垂线“一垂二射三证明”“二射”:找斜线在平面上的射影“三证明”:用定理证明直线垂直ABOCD题型二：求点到直线的距离ABCDMoD1例5.将等腰直角三角形A

5、BC沿斜边AB的中线CO折叠，使AO⊥BO，且AC=√2，求折后A到CB的距离CA’BOAD例6.在矩形ABCD中，沿对角线BD将折起，使点C移到C’处，且点C’在平面ABD上的射影O恰在AB上。（2）求点A到平面BC’D的距离（3）求直线AB与平面BC’D所成角ACBDC’OEABDC综合练习练习：在正方体AC1中，E、G分别是AA1和CC1的中点，F在AB上，且C1E⊥EF，则EF与GD所成的角的大小为（）(A)30°(B)45°(C)60°(D)90°DFADCBA1D1B1C1GEEB1是EC1在平面AB1内的射影EB1⊥EFDG∥EB1

6、EF⊥DGPABCMNEFADCBA1D1B1C1OADCBA1D1B1C1OEFABCPEDOADCBA1D1B1C1EFCBA1B1C1ADD1CBA1B1C1ADD1MNPMPN(1)(2)CBA1B1C1ADD1MNPEFGCBA1B1C1ADD1(3)(4)PMNEFG