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1、三垂线定理及其应用aAPoα一、三线概念:平面的斜线、垂线、射影aAPoα如图PO是平面α的斜线,O为斜足;PA是平面α的垂线,A为垂足;AO是PO在平面α内的射影.性质定理判定定理性质定理线面垂直①线线垂直②线面垂直③线线垂直PO平面PAOa⊥PO③二、三垂线定理：在平面内的一条直线(a)，如果和这个平面的一条斜线(PO)的射影(AO)垂直，那么它(a)也和这条斜线垂直。PA⊥αaα①PA⊥aAO⊥aPA∩AO=A②a⊥平面PAOPaAoα已知:如图,PO为平面α的斜线,PA⊥α,a在平面α内且垂直PO的
2、射影AO.求证:a⊥PO证明:1、三垂线定理描述的是斜线、射影、直线之间的垂直关系.2、a与PO可以相交，也可以异面.3、三垂线定理的实质是平面的一条斜线和平面内的一条直线垂直的判定定理.说明：4、转化思想:空间两直线的垂直问题转化为平面内两直线的垂直问题.aAPoα练习：判定下列命题是否正确(1)若a是平面α的斜线、直线b垂直于a在平面α内的射影，则a⊥b。()2°定理的关键找“平面的垂线”.强调：1°四线是对同一个平面而言.(2)若a是平面α的斜线，b是平面α内的直线，且b垂直于a在β内的射影，则a⊥b
3、。()××aAPoα三、知识运用例1.如图,PD⊥平面ABC,AC=BC,D为AB的中点,求证AB⊥PC.PABCD证明:∵PD⊥平面ABC,∴DC为PC在平面的射影,而△ABC为等腰三角形,D为AB的中点,∴AB⊥CD∴AB⊥PC例2.如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1中，连结BD1，AC，CB1，B1A，求证：BD1⊥平面AB1C∵DD1⊥平面ABCD∴BD是斜线D1B在平面ABCD上的射影∵ABCD是正方形∴AC⊥BD(AC垂直射影BD)，∴AC⊥BD1A1D1C1B1ADCB同理:BA1是斜
4、线BD1在平面ABB1A1上的射影,AB1⊥BD1而AC∩AB1=A∴BD1⊥平面AB1C证明：连结BD、A1B例3.道路旁有一条河，彼岸有电塔AB，高15m，只有测角器和皮尺作测量工具，不过河能否求出电塔顶A与道路的距离？(测角器只能测水平面角)解：在道路边取一点C，使BC与道边所成水平角等于90°，BAC90°∵BC是AC的射影,且CD⊥BC,∴CD⊥AC(三垂线定理)因此斜线AC的长度就是电塔顶A与道路的距离。BAC90°∴BC=a米，在直角△ABC中,AC2=AB2+BC2，AC=152+a2米答：
5、电塔顶A与道路的距离是米。再在道路边取一点D，使∠CDB=45°,则CD=CB可测得C、D的距离等于a米,●D45°例4.如图,长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=AD=2,AA1=,E,F分别为AB和AD的中点,求平面A1EF和平面ABCD所成二面角的大小?ABCDEFA1B1C1D1解:连接BD,AC,AC交EF于G,G连接A1G∵底面ABCD是正方形，∴AC⊥BD,而E,F为AB和AD中点,∴EF∥BD,∴EF⊥AC又因为AG为A1G在平面ABCD上的射影.(由三垂线定理)∴EF⊥A1G,则∠A
6、1GA为二面角的平面角.计算得:二面角的大小为:60o三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。四、小结2.定理的主要应用:证明线线垂直,线面垂直,求点到线的距离,二面角大小,1.定理中四条线均针对同一平面而言,3.证明程序分三个步骤:“一垂二射三证”,计算程序分三个步骤:“一作二证三算”.
